ТВиМС вар 17

1.17 Наудачу взяты два положительных числа x и y, причем x≤5, y≤2. Найти вероятность того, что и

Решение

Количество возможных вариантов выбрать два положительных числа:

Условию не удовлетворяют следующие комбинации x и y:

x=5 y=1;

x=5 y=2;

Условию удовлетворяют все комбинации.

Тогда, по классической формуле вероятности:

Искомая вероятность

Ответ: 0,8

2.17 Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводи к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1,2,3,4 соответственно равны р₁=0,1; р₂=0,2; р₃=0,3; р₄=0,4. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение

Найдем вероятность отказа элементов 3,4:

Найдем вероятность отказа элементов 1 и 3,4:

Вероятность одновременного отказа блоков 2 и 1,3,4:

Вероятность безотказной работы блоков 2 и 1,3,4:

Ответ: 0,9584

3.17 Прибор состоит из трех блоков. Исправность каждого блока необходима для функционирования устройства. Отказы блоков независимы. Вероятности безотказной работы блоков соответственно равны 0,6; 0,7; 0,8. В результате испытаний прибор вышел из строя. Определить вероятность того, что отказал один блок.

Решение:

С рассматриваемым событием А={Прибор вышел из строя} связано три гипотезы: Н₁={Из строя вышел один блок}, Н₂={Из строя вышло два блока}, Н₃={Из строя вышло три блока}.

Определим вероятности этих гипотез:

Возможных сочетаний выхода из строя блоков – 7:

- отказал 1 или 2 или 3 блок;

- отказали 1 и 2, или 2 и 3, или 1 и 3.

- отказали все три блока.

Определим условные вероятности события А

По формуле Байеса получим:

Ответ:0,681

4.17 Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,4. По мишени производится шесть независимых выстрелов. Найти вероятность того, что в мишени будет одно или два попадания.

Решение:

Вероятность одного попадания 0,4.

Воспользуемся формулой Бернулли и определим вероятности попасть 1 и 2 раза:

Так как события несовместны

Ответ: 0,4976.

5.17 Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений х₁=-2, х₂=0, х₃=2, х₄=4, х₅=9 с вероятностями р₁=0,3, р₂=0,2, р₃=0,1, р₄=0,1, р₅=0,3 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение

xi	-2	0	2	4	9
pi	0,3	0,2	0,1	0,1	0,3

Математическое ожидание

Дисперсия

Рассчитаем значения функции распределения для фиксированных значений , взятых из ряда распределения:

1.

2.

3.

4.

5.

6.17 Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [0,5; 0,7]

Решение

Вычислим значение константы С из условия нормировки:

с=6

Определим функцию распределения F(x):

для x<0:

для

для

Окончательно:

Вычислим вероятность :

Вычислим математическое ожидание:

Вычислим дисперсию:

7.17 Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [π/6,π/3]. Построить график случайной величины и определить плотность вероятности g(y), g(y₀), y₀=0,5.

Решение:

Так как Х равномерно распределена в интервале [π/6,π/3], то ее плотность вероятности равна

Построим график величины для x в интервале [π/6,π/3].

Выделяем интервалы:

[0,1] k=1

На интервалах обратная функция не существует .

В интервале [0,1) одна обратная функция , тогда

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

8.17 Двухмерный случайный вектор (X, Y) равномерно распределен внутри области В. Двухмерная плотность вероятности f(x,y) одинакова для любой точки этой области В:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

Решение

Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности

Определим с, используя условие нормировки:

Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Х

Определим корреляционный момент K_xy:

Коэффициент корреляции величин X и Y равен

9.25 По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить на масштабно-координатной бумаге формата А4 график эмпирической функции распределения F*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия и критерия Колмогорова (α=0,05).

Решение

Вариационный ряд

-3,39 -3,39 -3,38 -3,35 -3,33 -3,15 -3,10 -3,07 -3,06 -2,91 -2,90 -2,84 -2,64 - 2,54 -2,53 -2,53 -2,22 -2,18 -2,03 -1,98 -1,92 -1,88 -1,86 -1,81 -1,78 -1,68 -1,66 -1,50 -1,41 -1,32 -1,19 -1,09 -1,00 -0,73 -0,71 -0,67 -0,64 -0,49 -0,28 -0,21 -0,05 0,08 0,12 0,14 0,14 0,31 0,32 0,44 0,49 0,58 0,62 0,63 0,63 0,64 0,69 0,69 0,71 0,73 0,79 0,90 0,94 0,97 0,97 1,00 1,05 1,05 1,21 1,22 1,28 1,34 1,64 1,83 1,86 1,88 1,94 1,95 2,01 2,13 2,16 2,17 2,24 2,28 2,30 2,30 2,31 2,38 2,47 2,54 2,58 2,66 2,66 2,77 2,82 2,89 2,94 3,03 3,27 3,54 3,73 3,77

С

F*(x)

троим график эмпирической функции распределения F*(x):

x

Строим гистограмму равноинтервальным способом. Для этого определим необходимое количество интервалов

j	Aj	Bj	hj	vj	p*j	f*j
1	-3,39	-2,674	0,716	12	0,12	0,1676
2	-2,674	-1,958	0,716	8	0,08	0,1117
3	-1,958	-1,242	0,716	10	0,1	0,1397
4	-1,242	-0,526	0,716	7	0,07	0,0978
5	-0,526	0,19	0,716	8	0,08	0,1117
6	0,19	0,906	0,716	15	0,15	0,2095
7	0,906	1,622	0,716	10	0,1	0,1397
8	1,622	2,338	0,716	15	0,15	0,2095
9	2,338	3,054	0,716	11	0,11	0,1536
10	3,054	3,77	0,716	4	0,04	0,0559

;

Равноинтервальная гистограмма имеет вид:

f*(x)

x

Cтроим гистограмму равновероятностным способом

j	Aj	Bj	hj	vj	p*j	f*j
1	-3,39	-2,905	0,485	10	0,1	0,2062
2	-2,905	-1,95	0,955	10	0,1	0,1047
3	-1,95	-1,255	0,695	10	0,1	0,1439
4	-1,255	-0,13	1,125	10	0,1	0,0889
5	-0,13	0,6	0,73	10	0,1	0,137
6	0,6	0,92	0,32	10	0,1	0,3125
7	0,92	1,49	0,57	10	0,1	0,1754
8	1,49	2,205	0,715	10	0,1	0,1399
9	2,205	2,66	0,455	10	0,1	0,2198
10	2,66	3,77	1,11	10	0,1	0,0901

, ,

Вычисляем точечную оценку математического ожидания

Вычислим точечную оценку дисперсии

Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью .

; ;

Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью

По виду графика эмпирической функции распределения и гистограмм выдвигаем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины:

Н₀ – величина Х распределена по равномерному закону

Н₁ – величина Х не распределена по равномерному закону

,

Определим оценки неизвестных параметров a и b

,

Получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:

Проверим гипотезу о равномерном законе с помощью критерия _.

Вычислим значение критерия на основе равноинтервального статистического ряда

Теоретические вероятности pi попадания в интервалы равноинтервального статистического ряда равномерной случайной величины

j	Aj	Bj	F0(Aj)	F0(Bj)	pj	p*j
1	-3,39	-2,674	0	0,1	0,1	0,12	0,004
2	-2,674	-1,958	0,1	0,2	0,1	0,08	0,004
3	-1,958	-1,242	0,2	0,3	0,1	0,1	0
4	-1,242	-0,526	0,3	0,4	0,1	0,07	0,009
5	-0,526	0,19	0,4	0,5	0,1	0,08	0,004
6	0,19	0,906	0,5	0,6	0,1	0,15	0,025
7	0,906	1,622	0,6	0,7	0,1	0,1	0
8	1,622	2,338	0,7	0,8	0,1	0,15	0,025
9	2,338	3,054	0,8	0,9	0,1	0,11	0,001
10	3,054	3,77	0,9	1	0,1	0,04	0,036
				Сумма	1	1	0,108

Проверяем выполнение контрольного соотношения для p_j

Получаем

Вычисляем число степеней свободы

По заданному уровню значимости из таблицы распределения выбираем критическое значение

Так как то гипотеза Н₀ о равномерном законе распределения принимается (не основания ее отклонить).