1. Графік функції , де - елементарна функція, а - ціла частина .

Оскільки на проміжках , то на цих проміжках . Отже, якщо функція визначена в точці , то вона визначена і на всьому проміжку , і її графіком буде відрізок одиничної довжини з вилученою точкою з правого кінця. Якщо ж функція не визначена в точці , то вона не визначена і на всьому проміжку , і тоді графіка на цьому проміжку не буде. Тому для побудови графіка функції доцільно спочатку побудувати графік і розбити її область визначення на проміжки виду , тобто задовольняє умову

Через точки , де , проводимо прямі, перпендикулярні до осі абсцис. На кожному такому проміжку . Можна графік побудувати і простіше: нанести точки і на кожному із проміжків побудувати графік .

Таким чином шуканий графік матиме вигляд східців (малюнки 1 і 4).

2. Графік функції , де – елементарна функція, – ціла частина , будується з урахуванням властивостей як функції , так і функції . Області визначення функцій і збігаються. Це випливає з того, що функція визначена для будь-якого .

Якщо функція парна, то і функція парна. Очевидно, те саме стосується і періодичності.

Побудувати графік функції можна в такий спосіб: спочатку побудувати графік функції і на осі ординат виділити проміжки, на яких виконується умова . Через точки провести горизонтальні прямі. З точок перетину прямих з графіком опустити перпендикуляри на вісь абсцис. У результаті на осі абсцис в області визначення функції дістанемо проміжки, на кожному з яких виконується умова . На цих проміжках і будуємо графік сталої функції (малюнки 2 і 3).

3. Графік функції .

Оскільки функція періодична з періодом , то і функція періодична з тим же періодом. Виходячи з цього, графік функції достатньо спочатку побудувати на проміжку і періодично повторити його вліво і вправо. Але для . Отже, щоб дістати графік функції , будуємо графік функції на проміжку і періодично повторюємо його.(малюнки 5 і 6).

4. Графік функції .

Графік функції будується з урахуванням властивостей обох функцій: і . Оскільки функція задовольняє умову , то .

Отже, шуканий графік лежить у смузі між прямими , , не маючи спільних точок з останньою прямою. Побудову графіка функції можна виконати в такий спосіб: побудувати графік функції . Через точки , де , провести прямі, паралельні осі ординат. Тоді дробові частини значень функції потрапляють у смуги, утворені прямими , , . Ті частини графіка функції , які потрапили в смугу, утворену прямими , залишаємо без зміни, ті частини графіка, які розташовані у смузі між прямими , , , переносимо паралельно осі ординат вниз на відстань , тобто в смугу між прямими , ; ті частини графіка, які розташовані у смузі між прямими , , , переносимо паралельно осі ординат на відстань (мал. 4)

Приклад 13. Побудувати графіки функцій:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Малюнок 1

Малюнок 2

Малюнок 3

Малюнок 4

Малюнок 5

Малюнок 6

Задачі рекомендовані для розв'язування в аудиторії

1. Знайти число і суму всіх натуральних дільників таких чисел: а) 375; б) 720; в) 990; г) 1542; д) 3500.

2. Знайти всі натуральні дільники чисел: а) 24; б) 50; в) 100; г) 360; д) 375.

3. Знайти натуральне число , якщо:

а) - найменше натуральне число, для якого ;

б) має тільки два простих дільники,

в)

.

4*. Довести, що:

а) добуток всіх дільників числа дорівнює ;

б) , якщо ;

в) , якщо .

5. Нехай - натуральне число. Знайти , якщо і має тільки два простих дільники;

6. Два натуральних числа і називаються дружніми, якщо . Довести, що дружніми є такі пари чисел:

а) 220 і 284; б) 1184 і 1210; в) 2620 і 2924.

7. Знайти кількість натуральних чисел, які менші від числа і мають з ним найбільший спільний дільник , якщо:

а)

б) .

8. Розв'язати рівняння:

а)

б)

в)

г)

8. Знайти натуральне число , якщо:

а) і

б) , де - просте число, .

9. Знайти:

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Знайти:

а) ; б) ; в) ; г) .

11. Розв'язати рівняння:

а) ; б) ; в) .

12. Знайти показник степеня простого числа , яке міститься в добутку , якщо:

а) б)

13. Побудувати графіки функцій:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

е) ; є) ; ж) ; з) ; к) .

14. Довести, що:

а) ; б) .