24. Треугольная форма матрицы лин.Оператора. Теорема Шура

Теорема. В n мерном комплексном пространстве существует система n вложенных друг в друга инвариантных подпространств всех размерностей от 1 до n таких что L1 ( L2 ( … ( Ln = V Док-во. Используем индукцию. Для 1 верна, для n-1 предположительно тоже, доказываем для n через Лемму: Лин. оператор в n мерном компл пр-ве обладает инв п/п размерности n -1 док-во леммы У него обязательно есть собственное значение, а значит dim im(A – λI) <= n-1 и в пространстве V есть подпространство L размерности n – 1, содержащее этот образ. Очевидно что L инвариантно относительно этого оператора. Но оно инв и относительно А.

Вернемся к теореме. Раз оператор А имеет инв п/п L, значит, оператор A|L действует в подпространстве размерности n – 1 и согласно индуктивному переходу, образуется цепочка вложенных подпространств, все они инвариантны относительно А.

Теорема. Для любого оператора А есть базис, в котором его матрица имеет треугольную форму. Док – во. Из пред теоремы, есть цепочка вложенных п/п-в. Значит берем любой из векторов базиса, потом берем векторы, дополняющие получившееся п/п до п/п следующей размерности и так до V. Замечание. На главной диагонали получаем с. зн.

Теорема. Любая квадратная компл матрица подобна треугольной. Доказываем по схеме матрица – оператор – матрица.

29. Теорема Гамильтона-Кэли. Минимальный многочлен

Теорема Гамильтона – Кэли. Линейный оператор в комплексном (вещ) пространстве является корнем своего хар. многочлена.

Это доказывается путем разложения вектора x на корневые подпространства (прямая сумма ж), каждое итоговое слагаемое равно 0, так как полученные разложенные векторы – корневые для своих значений л! Для вещественного пространства строим отдельный комплексный случай и приводим к тому же заключению.

f(t) – аннулирующий многочлен для оператора А, если f(A) = 0

Минимальный многочлен – аннулирующий многочлен наименьшей степени с старшим коэффициентом единица. Он определен однозначно.

Теорема. Минимальный многочлен является делителем аннулирующего многочлена.

Доказательство. если это не так, то, поделив аннулирующий на минимальный, получим либо другой аннулирующий, меньшего порядка, что невозможно, либо как раз поделится нормально.

25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его сужений.

Лоп нильпотентен, если в некоторой степени он превращается в нулевой. Наименьшее число q такое называется индексом нильпотентности лопа. Аналогично для матрицы.

Примеры. Оператор дифференцирования, Жорданова клетка.

Теорема. Если А – нильпотентный лоп индекса q и х0 – вектор, для которого A^q-1x0 <> 0 , а A^qx0 = 0, то x0, Ax0… A^qx0 – линейно независимы.

Док- во. Рассматриваем весь этот ряд, последовательно действуем оператором с нужными степенями и смотрим что коэффициенты лк равны 0.

Следствие .Индекс нильпотентности не превосходит размерности пространства.

Теорема. В комплексном пространстве лоп нильпотентен титтк все его с. зн равны 0. Док – во. Если есть ненулевое лямбда, то действуем на собственный вектор оператором – везде вылезает лямбда и он нулевой только тогда когда лямбда 0. Есть базис в котором матрица треугольна. По диагонали – с. зн. Если они не 0 то в некоторой степени они просто возводятся в степень и в 0 не превращаются.

Прямая сумма опов.

Если V = L1 + L2 + … Lp – прямая сумма п/п инв относительно А, то оператор А называется прямой суммой индуцированных операторов A|Lk

Теорема. Вырожденный и не нильпотентный лоп А является прямой суммой нильпотентного и обратимого операторов, причем разложение единственно.

Док-во велико и ужасно. Нужно найти два таких п/п, что А|L1 – нильп, A|L2 – обр. Сущ-е. Обозначим для натур k: Nk = ker A^k, Tk = imA^k

1. Покажем что подпространства Nk строго вложены друг в друга до некоторого q, начиная с которого все они равны. а) Вложение Nk ( N_k+1 очевидно б) Пусть Nk = N_k+1. Тогда N_k+2 = N_k+1 – потому что если х в N_k+2 то A^k+1(Ax) = 0, получаем что Ax из N_k+1 а так как оно равно Nk то A^k(Ax) = 0, значит x из N_k+1 и получили что они совпадают. Из а и б получили что Nk либо вложено в следующее, либо совпадает с всеми следующими. Возрастать бесконечно они не могут, значит наступит момент q. Зафиксируем момент и покажем что V = Nq + Tq Ну размерности совпадают, это ясно из теоремы какой то. А их пересечение равно 0 так как если y лежит и в Nq и в Tq то есть х такой что y = A^qx => A^2qx = 0 => x лежит в N2q = Nq и A^qx =0, значит y = 0. Подпространства Nq и Tq инв отн А Оператор A|Nq нильп индекса q Оператор A|Tq обратим т.к его ядро нулевое.

Единственность. Пусть есть другой такой. Тогда у него другие подпространства Nk и Nk. Но у нас они максимальны, dimN <= dimNq, dimT <= dimTq а так как сумма размерностей равна n то вариант лишь один.

Следствие. Оператор А на пп Nq имеет только нулевые с. зн., на пп Тq не имеет с. зн. Это вытекает из доказанной теоремы

26. Корневые подпространства. Расщепление лопа в прямую сумму корневых подпространств.

Пусть λ_j – с. зн А. Вектор х – корневой, отвечающий с. зн л_j если (A – л_jI)^kx = 0. k – его высота.

Корневые векторы высоты 1 – собственные значения

Если х – корневой вектор высоты n то (A – л_jI)x всоты n – 1.

Корневые векторы раздичных с.зн – лнз.

Корневые векторы высоты больше 1 называются присоединенными.

Корневое подпространство, отвечающее λ_j – пространство всех корневых векторов, удовл тому условию.

Сдвиг оператора А: В = А – λ_jI Лемма 1. с. зн-я А и В связаны: λ_B = λ_A – λ_j – проверяетс просто так

Лемма 2. характер многочлен В – лямбды меняются на другие, из леммы 1.

Лемма 3. Если п/п L инв отн В, то оно инв и отн В.

Оператор В разлагается на нильп и обр – тот который обратимый это будет A|Kλ_j оставшееся – Tq оставляем в покое

Теорема. пространство V разлагается на прямую сумму корневых подпространств оператора А! Док-во по индукции. Для 1 верно Для p-1 предположительно верно. Тогда можно разложить V = Kλ_p + Tq Обозначаем V1 = Tq – а для p – 1 у нас можно разложить на сумму к. попространств – так как у нас V1 инв отн оператора – они будут и к. п/п самого оператора и объединяя с предыдущим Kлp получаем то что хотели!!

Следствие. Ненулевые к.в. отв. разным с.зн – лнз

Следствие. Для любого оператора есть базис, в котором его матрица квазидиагональна. Число клеток – число с.зн-й, размер – алг. кратность.