6.Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса

Два вектора называются ортогональными, если (x,y) = 0. Только нулевой вектор ортогонален всем остальным Пусть L – линейное подпространство евклидова (у) пространства. Вектор x ортогонален всему подпространству L, если он ортогонален каждому вектору из этого подпространства.

Два подпространства называются ортогональными, если (x,y) = 0 для любых векторов x из L1 и y из L2 Сумма подпространств называется ортогональной, если её слагаемые попарно ортогональны. Система векторов называется ортонормированной, если она содержит попарно ортоганальные векторы единичной длины.

Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.

Доказательство Строим линейную комбинацию, поочередно умножаем скалярно на векторы системы и убеждаемся, что только тривиальная равна 0.

Следствие – в n мерном пространстве, ортонормированная система из n векторов образует базис.

Базис, векторы которого образуют ортонормированную систему, называется ортонормированным.

Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве координаты вектора в базисе e = (e1,e2..en) вычисляются по правилу xi = (x,ei) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.

Док-во. Необходимость. Пусть так и есть. Тогда вычислим координаты базисных векторов – получим единички.

Достаточность – раскладываем каждый вектор по базису, умножаем скалярно на ei – получаем координату.

Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов в базисе e = (e1,e2..en), заданных своими координатами, вычисляется по правилу (x,y) = сумма(xi*⌐yi) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.

Доказательство. Необходимость. Проверим на базисных векторах – получим единички в случае одинаковых векторов и нули в обратном случае, базис ортонормированный.

Достаточность. Раскладываем каждый вектор на сумму, дальше из линейности скалярного произведения выносим координаты и оставляем только произведения с одинаковыми базисными векторами.

Теорема. В конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве существует о/н базис.

Док-во. Пусть dim V = n. Используем индукцию. При n = 1 – очевидно. Пусть в любом (n-1) пространстве существует о/н базис. Покажем для n: Пусть f1..fn – базис E, линейная оболочка L(f1..fn-1) – n-1 пространство, в нем по предположению есть о/н базис e1..en. Так как fn не принадлежит L(f1..fn-1)=L(e1..en-1), то gn = fn – a1e1 – a2e2…-a_n-1e_n-1, скалярно умножаем это всё на ei для каждого i, приравниваем к нулю и суем в систему. Нужный вектор en = gn/|gn| - получаем о/н базис пространства V.

7. Изометрия

Два евклидовых (унит) пространства V1 и V2 называются изометричными или евклидово изоморфными, если существует биективное отображение ф: V1 -> V2, которое сохраняет законы композиции и скалярное произведение: 1) ф(x+y) = ф(x) + ф(y) для любых х,у из V1 2) ф(ax) = aф(x) – для любых а из Р, х из V1 3) (ф(х),ф(у)) = (х,у)

Само отображение зовется изоморфизмом

Теорема. Два евклидовых (унит) пространства изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

Док-во. Необходимость. вытекает из изоморфизма евклидовых(ун) пространств как линейных пространств.

Достаточность.

Выберем базисы, опять построим отображение, сохраняющее координаты в этих базисах. Это и будет нужный изоморфизм.