18. Лин. Функционалы. Сопряженное пространство. Лин. Функционалы и гиперплоскости.

Определение и свойства.

Линейное отображение f: V -> P называется линейной формой или функционалом.

Примеры. 1. Самое простое – f(x) = 0 2. f(x) = x1 – первая координата 3. В пространстве многочленов f(p) = p(1)

Она однозначно определяется набором значений на базисных векторах, из линейности получаем остальные.

Представление в виде лк значений формы на базисе называется общим видом лин формы.

Линейные формы и гиперплоскость.

Если форма ненулевая, то множество K, содержащее элементы x такие, что f(x) = c, то K – линейное многообразие с направляющим подпространством f(x) = 0

Сопряженное подпространство. Линейное пространство всех линейных форм на пространстве V называется сопряженным пространством к пространству V.

Теорема. размерности пространства и сопряженного ему равны.

следует из теоремы о линейном пространстве операторов.

Следствие. Всякое конечномерное пространство изоморфно своему сопряженному.

Теорема. Для любой линейной формы существует единственный вектор h такой, что f(x) = (x,h)

Доказательство.

Представляем линейную форму как линейную комбинацию значений на базисных векторах – это будет координатами вектора h.

19. Обратный оператор. Критерий обратимости.

A из L(V,V). A^-1 – обратный, если AA^-1=A^-1A = I.

Это достаточно упомянуть:

Теорема. Линейный оператор обратим титтк он биективен. Теорема. Обратный оператор единственен

Теорема. Обратный оператор линеен. Док-во. Просто проверяем линейность, используя сюръективность и заменяя A^-1y на x и наоборот. С альфой аналогично.

Теорема. Оператор обратим титтк его матрица в любом базисе обратима.

A_e(A^-1)_e = (A^-1)_eA_e = I

Это двусторонне верно, это и есть доказательство.

Замечание. (A^-1)_e = A_e^-1

Оператор невырожден, если его ядро нулевое.

Теорема. В КОНЕЧНОМЕРНОМ пространстве, следующие утверждения равносильны:

1) AA^-1 = I 4) imA = V 2) A^-1A = I 5) detA <> 0 3) A не вырожден 6) A обратим 7) A биективен

Доказательство

1  2  5  6  7 Пусть e = (e1..en) - произвольный базис V. Утв.1 равносильно матричному такому же, эквивалентно утв 2, сразу же утв 5 и по первой теореме, еще и 7.

1  3  4 Утв 1 равносильно тому что rgA = n, то есть уже он не выржден и его образ – все пространство.

Замечание. Не верна в бесконечномерном.

Теорема. Произведение обратимых операторов – обратимо. – тож было доказано давноо.

Следствие. Умножение лин. оп. – алгебр операция на множестве всех обратимых лин. оп. Следствие. Они образуют неабелеву мультипликативную группу.

20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализируемые матрицы.

Ненулевой вектор х называется собственным, если есть такое λ что Ax = λx, λ – собственное значение А, соответствующее собственному вектору х. Множество всех собственных значений называется спектром оператора.

Примеры – в пространстве многочленов любая константа – с.в. оператора дифф. с нулевым с.зн. Для оператора проектирования любой ненулевой вектор из L1 – собств. с значением 1.

Теорема. Собств векторы, отвечащие разным с. зн – линейно независимы Док-во. По индукции. Для 1 – очевидно, для k-1 – верно, для k получаем что если x1…xk – зависимы, то можно подействовать на них оператором, получим a1 x1 λ1 + .. + ak xk λk = 0, изначальное равенство умножаем на катую лямбду, вычитаем второе равенство и из того что лямбды разные получаем что все коэффициенты нулевые. А значит и при xk коэффициент нулевой.

Следствие. Линейный оператор в n – мерном пространстве не может иметь более n различных с. зн.

Произвольный л. оператор в n- мерном компл. пространстве имеет n с.зн, хотя бы один с.в. и на любом инвариантном п/п хотя бы один с.в.

Оператор простой структуры, если существует базис из с.в. оператора.

Критерий. Оператор имеет простую структуру титтк в пространстве существует базис, в котором его матрица диагональна. Док-во. Пусть размерность V равна n. Согласно определению, оп. имеет простую структуру, если есть базис из n лнз собственных векторов. Это равносильно тому что его матрица диагональная в этом базисе с с. зн. на гл диагонали.

Следствие. В n мерном пространстве базис с n с. зн-ми имеет простую структуру.

Теорема. Оператор имеет простую структуру титтк его собств п/п в прямой сумме дают все пространство V. Необх-ть. Пусть имеет простую структуру – тогда есть базис из собственных векторов. Какой то из векторов обязательно лежит в одном из собств подпространств – один в двух не лежит никогда – все с.п/п в прямой сумме дают все пространство V. Д-ть вытекает из критерия прямой суммы – совокупность базисов подпространств образует базис V значит есть базис из собственных векторов.

Теорема. Лин оп в компл пр-ве имеет простую структуру титтк алг кратность совпадает с геом кр-ю.

док-во. Так как есть базис из собств значений и сумма размерностей с. п/п дает размерность V, то получаем что сумма всех геом кратностей дает размерность всего пространства. А так как алгебр кратность больше или равна то выходит что она все таки равна.

Матричная формулировка теоремы – матрица имеет простую структуру титтк она подобна диагональной. Доказываем через схему матрица – оператор – матрица.