33. Нормальный оператор и нормальная матрица.

Оператор нормальный, если AA* = A*A Квадратная матрица – аналогично.

Теорема. Собственный вектор (л) нормального оператора является собственным вектором (⌐л) сопряженного оператора.

Док-во. А нормален – и A – лI тоже нормален. (A-лI)x = 0, ((A-лI)x ,(A-лI)x ) = 0, (x,(A-лI)(A-лI)*x)=0,

((A-лI)*x ,(A-лI)*x ) = 0, (A-лI)*x = 0 => (A*-⌐лI)x = 0 !

Следствие. Ядра оператора и сопряженного равны, если оп нормален. Следствие. ядро опа равно орт доп-ю образа опа

Теорема. Собственные векторы нормального оператора, отвечающие разным собственным значениям попарно ортогональны.

Доказательство. Ax = tx, Ay = sy, s <>t (Ax,y) = t(x,y) = (x,A*y) = s(x,y) -> (x,y) = 0.

Теорема Шура. Для любого оператора в унит. пространстве есть о/н базис, в котором его матрица треугольная. Док-во. Просто строим о/н базис из собственных векторов в корневых подпространствах.

Теорема. Критерий нормальности. Оператор нормален <-> есть о/н базис из собственных векторов.

Док-во. Необх. По теореме Шура, есть о/н базис – AA*=A*A – в матричном виде смотрим – получаем что матрица диагональная! Достаточность – наоборот, строим диагональную матрицу и проверяем условие.

Теорема. Если любой с.в. А является с.в А*, то А – нормальный.

Док-во. Собственный вектор e1 – с.в. и А* - значит, орт доп-е к L(e1) инв. отн. А – ищем там еще один вектор и по цепочке получаем о/н базис.

34. Блочно-диагональная форма вещ. норм. матрицы.

Теорема. Лин. оп. в Е нормален титтк существует о/н базис пространства, в котором его матрица квазидиагональна с клетками первого порядка и вещ клетками второго порядка вида | а b| |-b a|, b <>0

Док-во. Достаточность – просто проверяем Необходимость. Опять разлагаем с.в. на ax+iby как в вещ. экв. Ж.ф.

35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитово разложение лопа.

Если А = А*, то оператор зовется самосопряженным (Эрмитовым или симметрическим) С матрицами аналогично.

Самосопряженный оператор нормален Оператор самосопряжен титтк в любом о/н базисе его матрица эрмитова определитель сс оператора веществен Если L инв относительно А, то и ортог. доп-е инв. отн. А индуцированный сс оператор – тоже сс

Теорема. Нормальный оператор сс титтк все корни его хар. мн вещ. Док. Необх. Оператор сопряжен – в о/н базисе матрица А = А^H значит все диаг элементы вещественны, то есть det(A – лI) имеет только вещ корни Дост. Раз все корни вещ – есть о/н базис из с.в. – матрица симметрическая

36. тож самое что и в 35

37. Унитарные операторы и унитарные матрицы

Оператор зовется унитарным, если UU*=U*U = I Оператор унитарен титтк в любом о/н базисе его матрица унитарна Обратный равен сопряженному, определитель единица Он нормален.

Называется изометричным, если сохраняет скал. произведение.

Теорема. Следующие утверждения равносильны 1) оператор унитарен 2) UU* = I 3) U*U = I 4) оператор изометричен 5) оператор сохраняет длину 6) оператор переводит о/н базис в о/н 7) оператор переаодит хотя бы один о/н базис в о/н

док-во.

1<->2<->3 любое выр-е 2) и 3) означает невырожденность U и существование обратного. Умножение на обратный дает второе утверждение 1<->4->5 (Ux,Uy) = (x,U*Uy) = (x,y) 5 -> 4 (x,y) = (|x+y|² - |x|² - |y|²)/2 4->6 – скал произв-е базиса смотрим 6 -> 4 – комбинация скал произв-й базиса

Следствие. Унитарный оператор на любом инв п/п индуцирует унитарный оператор.

Теорема. Если п/п инв отн. ун.оп – знач его орт. доп. также инв отн него.

Док-во. находим прообраз x, из сохранения скал. произведения убираем U: (x,y) = 0, (x,Uy) = (Ux1,Uy) = (x1,y) = 0, т.к. x1 из L, y из орт.доп. L

Нормальный оператор унитарен титтк все его собств. зн-я по модулю равны 1.

Док-во. Необходимость. Для каждого с.в. (Ux,Ux) = (лx,лx) = |л|² (x,x) Дост-ть. Раскладываем вектор по корневым подпространствам, действуем оператором, получаем л² которая должна быть 1.

Каноническая форма матрицы унитарного оператора.

по диагонали – лямбды, везде нули.

38. блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.

теорема. для любого ортогонального оператора в евкл пр-ве существует о/н базис, в котором его матрица имеет квазидиагональную форму с бломами +-1 и двумерными блоками cos –sin sin cos

Доказательство – из пред. параграфа теорема про о/н базис и квазидиаг матрицу.

Простое вращение – оператор с матрицей с только одним блоком из косинусов, остальное единичное Простое отражение – единичный оператор с одной -1 в матрице

Теорема. Всякий ортог. оператор может быть представлен как композиция некоторого числа простых вращений и отражений. Просто умножаем матрицы простых вращений и отражений

39. Знакоопределенные операторы и матрицы. Корень из оператора

Теорема. Если для любого х, (Ax,x) = 0, то A = 0.

Док-во. (B(y+z),y+z) = 0 и (B(iy+z),iy+z) = 0 – преобразуем получаем (Bz,y)+(By,z) = 0, -i(Bz,y)+i(By,z) = 0 – домножаем на –i складываем и получаем (By,z) = 0 для любых y и z

Теорема. Л.оп эрмитов титтк (Ax,x) – вещ. Для любых х

Док-во. Необх-ть. Если А – эрмитов, то (Ах,х) = (х,А*х) = (х,Ах) Тогда (Ах,х) = ⌐(Ах,х) – вещ число

Дост-ть. раз так, то (Ах,х) = (х,Ах) -> вычитаем и получаем A=A*

Самосопряженный положительно определен, если (Ax,x)>0 для любого ненулевого х. Отрицательно, неположительно и неотрицательно – аналогично. Скалярное произведение можно записать и так: (Ах,х) = х^НАх

Аналогично для матриц.

Теорема. Сс оператор полож. определен титтк все его с. знач л >0 (для остальных так же)

Док-во. необходимость – просто проверяем достаточность – разбиваем на базисные вектора, смотрим знак суммы скалярных произведений.

Следствие. Если А>0 или A <0, то оператор обратим.

Теорема. Обратный к полож.опред оп-ру – полож. опр. оператор. Док-во. Положительный – сс – обратный тоже сс. С отрицательными аналогично, на диагонали стоят обратные.

Теорема. Для неотрицательного оператора А существует единственный неотрицательный оператор В такой, что В² = А

Док-во. Сущ. Строим о/н базис из с.в., делаем оператор так чтоб Ве = корень из (л)е. Остальное будет лк из них.Единственность. Если есть еще один оператор С, то есть и базис такой что Сf = корень из (л)f – раскладываем базис е по базису f и получаем почти тож самое.Полученный оператор зовется квадратным корнем