§4 Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей.

Вправа 30. Розв’язати нерівність .

Розв’язання.

При значеннях , що задовольняють нерівність, відповідні точки одиничного кола мають ординату не меншу, ніж . Множина таких точок – це дуга кола (рис. 12), всі точки якої знаходяться не нижче прямої . Точка має ординату і належить правому півколу, тому в якості відповідного значення аргументу слід взяти значення .

Тепер треба уявити собі, що ми здійснюємо обхід дуги від точки до точки проти ходу годинникової стрілки. Тоді і, легко зрозуміти, що . Таким чином, отримано такі розв’язки нерівності . Але до цього моменту розв’язки шукали лише на проміжку , який має довжину . Завдяки періодичності синуса, всі інші розв’язки утворюють додаванням до вже знайдених розв’язків чисел виду . Одержимо відповідь: .

Вправа 31. Розв’язати нерівність .

Розв’язання.

На рисунку 13 зображено дугу одиничного кола, яка лежить нижче прямої . Точки та не входять до множини, що розглядається, оскільки їх ординати дорівнюють . Легко бачити, що . Обходимо дугу від точки до за годинниковою стрілкою.

Тоді . Всі розв’язки нерівності з проміжку довжини будуть такими: .

Враховуючи періодичність синуса отримаємо всі розв’язки нерівності: .

Вправа 32. Розв’язати нерівність .

Розв’язання.

На рисунку 14 зображено дугу одиничного кола, яка лежить праворуч від прямої . Точки та належать множині, що розглядається. Як бачимо, . Обходимо дугу за годинниковою стрілкою. Тоді . Враховуючи періодичність косинуса, одержимо відповідь:

.

Вправа 33. Розв’язати нерівність .

Розв’язання.

Період тангенса дорівнює . Тому знайдемо спочатку всі розв’язки нерівності, що належать інтервалу , а потім скористаємось періодичністю тангенса. Побудуємо лінію тангенсів. Якщо є розв’язком нерівності, то відповідна точка лінії тангенсів повинна мати ординату, що не перевищує . Відповідна дуга (з кінцями в точках та ) зображена на рисунку 15. Зауважимо, що точка належить, а не належить множині, що розглядається. Як бачимо . Обходячи дугу за годинниковою стрілкою, одержимо всі розв’язки з інтервалу . Вони будуть такими: . Враховуючи періодичність тангенса, отримаємо відповідь: .

Вправа 34. Розв’язати нерівність .

Р озв’язання.

Запишемо нерівність у вигляді . Побудуємо лінію котангенсів. Відповідна дуга (з кінцями в точках та ) зображена на рисунку 16. Тоді , а .

Одержимо:

або .

Відповідь: .

Вправа 35. Розв’язати нерівність .

Розв’язання.

Відповідна дуга (з кінцями в точках та ), що зображена на рисунку 17, обходиться проти ходу годинникової стрілки.

Як бачимо, , а .

Отже аргумент косинуса задовольняє нерівність:

.

Звідки маємо: або . Замінивши в остаточній відповіді на , отримаємо: .

Вправи для самостійного розв’язування.

Обчислити:

1. а) ; б) .

2. а) ; б) : в) ; г) ; д) ; е) ; э) ; ж) .

3. а) ; б) : в) ; г) ; д) ; е) ; э) ; ж) ; з) .

Довести тотожність:

4. а) ; б) .

Розв’язати рівняння:

5. а) ; б) ; в) .

6. а) ; б) ; в) .

7. а) ; б) ; в) .

8. а) ; б) ; в) ; г) ; д) е) ; э) ; ж).

9. а) ; б) ; в) ; г) ; д) е) ; э) ; ж) .

10. а) ; б) .

11. а) ; б) .

12. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

13. Застосувати універсальну тригонометричну підстановку а) ; б) ; в).

14. а) ; б) ; в) ; г) .

15. а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

16. а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

17. а) ; б) .

Розв’язати нерівність:

18. а) ; б) ; в) .

19. а) ; б) ; в) .

20. а) ; б) ; в) .

21. а) ; б) ; в) .

22. а) ; б) ; в) ; г) .

31