Операційне числення. ТР
.pdf1. Перелік необхідних формул для виконання завдання. А. Таблиця зображень
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Б. Формули для перетворення тригонометричних виразів |
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1. cos2 |
1 |
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1 cos 2 , |
sin 2 |
1 |
1 cos 2 |
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(2.1) |
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2 |
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2 |
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2. sin sin |
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1 |
(cos cos ) |
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(2.3) |
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2 |
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3. cos cos |
|
1 |
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(cos cos ) |
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(2.4) |
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2 |
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||||
4. sin cos |
|
1 |
|
(sin sin ) |
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(2.5) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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e x |
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Гиперболический синус : sh x |
e x |
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(3.1) |
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e x |
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2 |
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||||
Гиперболический косинус: ch x |
|
e x |
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(3.2) |
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2 |
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2 |
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||
1. Знайти зображення функцій |
|
|
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|
|
|
|
|
||
1.1. а) 5t sin 2t cos6t ; |
б) 3t 2 |
|
1 2 ; |
|
||||||||||||||
1.2. а) |
3t cos3t cos5t ; |
б) t10 |
7t5 |
2t ; |
||||||||||||||
1.3. а) e3t sin 2 2t ; |
б) 5t 2 3 ; |
|
||||||||||||||||
1.4. а) cos2 t ; |
б) 5t 7 |
3t |
5 4 ; |
|||||||||||||||
1.5. а) sin 2 t ; |
б) |
4 3t 3 |
2 ; |
|
||||||||||||||
1.6. а) t cos2 3t ; |
б) |
5t 4 |
t 3 |
4t 2 3t 1; |
||||||||||||||
1.7. а) t sin 2 3t ; |
б) |
1 t 3 ; |
|
|
|
|||||||||||||
1.8. а) sh5t ; |
б) |
3t 3 2t 2 |
t 5; |
|||||||||||||||
1.9. а) ch5t ; |
б) |
t 2 2 2 ; |
|
|||||||||||||||
1.10. а) sht cos3t ; |
б) t9 t 7 |
|
|
3t3 ; |
|
|||||||||||||
1.11. а) cht sin 2t ; |
б) 2t 2 |
1 2 ; |
|
|||||||||||||||
1.12. а) cht cos3t ; |
б) |
3t 4 5t 2 |
1 ; |
|
||||||||||||||
1.13. а) t ch5t ; |
б) |
3t 3 |
3t 2 2 ; |
|
||||||||||||||
1.14. а) t sh5t ; |
б) 5t 5 |
3t 3 |
12 ; |
|||||||||||||||
1.15. а) 3 t sh2t ; |
б) t 2 3 ; |
|
|
|||||||||||||||
1.16. а) e2t cos2 3t ; |
б) 2t 1 3 ; |
|
||||||||||||||||
1.17. а) e2t sin 2 3t ; |
б) |
t 6 |
2t 4 |
t 3 |
5; |
|||||||||||||
|
1 |
ch4t cos4t ; |
|
t 3 |
|
t |
|
2 |
|
|||||||||
1.18. а) |
|
б) |
|
|
|
|
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|
|
; |
|
|||||
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|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||
1.19. а) t 2 sin 4t ; |
б) t 6 |
2t 4 |
t 3 |
5; |
||||||||||||||
1.20. а) sin 3t cos7t ; |
б) t 7 |
2t 4 |
|
5t ; |
|
|||||||||||||
1.21. а) t 2 cos4t ; |
б) |
t 3 4t 2 |
5t 7 ; |
|||||||||||||||
1.22. а) 2cos3tch2t ; |
б) |
t 2 |
5 2 ; |
|
|
|||||||||||||
1.23. а) sin 5t sin 3t ; |
б) |
t 7 |
2t 4 |
|
5t ; |
|
||||||||||||
1.24. а) sin 2t cos3t ; |
б) |
3t 2 |
5 2 ; |
|
||||||||||||||
1.25. а) sh3t sin 3t ; |
б) |
t 8 5t 4 |
2 ; |
|
||||||||||||||
1.26. а) sin 2t sh5t ; |
б) |
t |
3 2 ; |
|
|
|||||||||||||
1.27. а) ch5tch7t ; |
б) |
5t 5 3t 4 ; |
|
|||||||||||||||
1.28. а) sin 3tch4t ; |
б) |
2t 3 |
1 2 ; |
|
||||||||||||||
1.29. а) sh3tch4t ; |
б) |
4t 3 7t 2 2t ; |
||||||||||||||||
1.30. а) 0.5(ch4t sin 4t) ; |
б) |
|
t 5 |
|
t 2 |
|
|
8 . |
|
|||||||||
|
|
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|||||||||||
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5 |
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2 |
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3
Розв’язання задачи
а) Найти зображення функції t 2 sin2 t 2t
Скористаймося рівностями: |
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sin 2 t |
1 cos2t |
, |
|
2t |
et ln 2 . |
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Отримаэмо: |
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t 2 sin 2 t 2t |
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1 |
t 2 |
|
1 |
t 2 |
cos2t et ln 2 |
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2 |
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2 |
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Для знаходження зображення використовуються такі твердження: |
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n |
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|
|
n |
|
|
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|
|
|
|
|
|||
1. |
|
Якщо fi |
(t) Fi ( p) , |
|
|
Ci |
const 's , |
|
i 1,n , то Ci fi (t) Ci Fi ( p) . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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i 1 |
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|
i 1 |
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|
|||||
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|
n |
|
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|
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|
|
n! |
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|
p2 2 |
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1 |
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|||||||||||||||||||||
2. |
|
t |
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|
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|
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|
|
|
|
, |
|
|
|
t cos t |
|
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|
, |
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|
e t |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
p n 1 |
|
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|
( p |
2 |
|
2 |
) |
2 |
|
|
p |
|
|
|
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d |
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|||||
3. |
|
Якщо f(t) F ( p) , |
то t f (t) |
|
|
|
F( p) |
|
|
|
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|
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|
dp |
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y 2t2 3 2 e2 x sin 2 |
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e 3 x sin 4t |
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формула1.2 |
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формула1.2 9 |
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формула1.1 |
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в) Найти зображення функції y t 2 sin 5t t cos3t tch2t
4
Розглянемо спочатку вираз t2 sin 5t . Використовуючи властивість
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dF( p) |
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( p), |
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t f (t) |
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2 |
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' |
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Тоді |
t |
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sin 5t = t ( p) = ( p) |
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формула1.17 |
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2 |
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2 |
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4 |
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5
Знайти зображення функції, заданої графіком
6
7
Задамо функцію аналітично:
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0,t 0 |
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f (t) t 1,1 t 2 |
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2 t,t 2. |
|
Очевидно, що на інтервалі ( ;2) f (t) cпівпадає з функцієюt 1 t 1 . Тут (t) - функція Хевісайда:
0, t 0
(t)
1, t 0.
При переході з цього інтервалу на півінтервал 2; f (t) змінюється на величину 2 t (t 1) 2t 3 (2t 3).
Отже, дістанемо: |
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f (t) (t 1) (t 1) (2t 3) (t 2) (t 1) (t 1) 2(t 2) 1 (t 2) |
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(t 1) (t 1) 2(t 2) (t 2) (t 2). |
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1 |
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Враховуючи, що (t) |
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, |
t (t) |
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, |
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та користуючись теоремою |
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2 |
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запізнення ( f (t) F ( p) f (t 2) e p F ( p) , отримаємо: |
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e p |
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e 2 p |
e 2 p |
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(t 1) (t 1) 2(t 2) (t 2) (t 2) |
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2 |
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p |
2 |
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2 |
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3. Знайти оригінал за даним зображенням
1.1. а) |
3 p2 3 |
; |
б) |
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p3 p 2 2 p |
( p 2 1)2 |
1.2. |
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p 3 |
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p3 2 p 2 3 p |
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Знайти оригінал за даним зображенням |
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а) |
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5 p 2 p2 |
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p3 2 p2 5 p |
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Запишемо розвинення раціональної функції |
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F ( p) |
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5 p 2 p2 |
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на прості дроби. |
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p3 2 p2 |
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5 p |
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5 p 2 p2 |
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5 p 2 p2 |
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A |
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Bp C |
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Ap 2 2Ap 5A Bp2 Cp |
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p3 2 p2 5 p |
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p( p2 2 p 5) |
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p p2 2 p 5 |
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p( p2 2 p 5) |
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p2 |
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A B 2 |
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p |
2A C 1 |
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p0 |
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5A 5 |
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A 1, |
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C 1, |
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B 3. |
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Таким чином, за таблицею зображень, маємо: |
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F ( p) |
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1 |
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3 p 1 |
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1 |
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3 p 1 |
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3( p 1) 2 |
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1 |
3 |
p 1 |
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2 2 p |
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( p 1)2 |
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( p 1)2 4 |
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p p |
5 p |
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4 p ( p 1)2 4 |
p |
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2 |
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1 |
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e t cos2t e t sin 2t. |
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( p 1) |
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4 |
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10
б) |
p2 |
( p2 1)2 |
Запишимо зображення у вигляді добутка та скористаємося теоремою про згортку:
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якщо f1 (t) F1 ( p) , |
f2 (t) F2 ( p) , то |
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f1 (t ) f2 ( )d F1 ( p)F2 ( p) . |
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0 |
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Одержимо: |
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2p |
2 |
2 |
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2p |
2p |
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t |
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t |
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cos(t )cos d |
1 cost cos(t 2 )d |
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( p 1) |
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p 1 p 1 |
0 |
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2 0 |
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1 |
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t |
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1 |
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t |
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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cost |
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sin(t 2 ) |
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cost |
( sin t sin t) |
cost |
sin t . |
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2 |
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0 |
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4 |
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0 |
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2 |
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4 |
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|
2 |
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2 |
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4.Розв’язати задачу Коши операційним методом
4.1. |
y,, 3y, |
et 3e2t , |
|
y 0 1, |
y, 0 1. |
||
4.2. |
y,, 3y, |
4 y t e t , |
|
y 0 2, |
y, 0 1. |
||
4.3. |
y,, y sin t 2et , |
||
y 0 1, |
y, 0 2. |
||
4.4. |
y,, 3y, |
cos t 3, |
|
y 0 2, |
y, 0 0. |
||
4.5. |
y,, 2 y, 10 y t et , |
||
y 0 1, |
y, 0 1. |
||
4.6. |
y,, y, 2e t 5sin t, |
||
y 0 3, |
y, 0 1. |
||
4.7. |
y,, 2 y, |
3y 3t e2t , |
|
y 0 1, |
y, 0 1. |
||
4.8. |
y,, 4 y cos 3t te2t , |
||
y 0 2, |
y, 0 3. |
||
4.9. |
y,, 4 y sin 2t 2t, |
||
y 0 4, |
y, 0 0. |
||
4.10. |
y,, y tet 2t 2 , |
||
y 0 1, y, 0 2. |
|||
4.11. |
y,, y, |
2 y t 1 e3t , |
|
y 0 1, y, 0 1. |
4.16. |
y,, y, t 2 e t , |
|
|
y 0 0, |
y, 0 1. |
|
|
4.17. |
y,, 3y, |
10y e2t |
tet , |
y 0 3, |
y, 0 2. |
|
|
4.18. |
y,, y 2 cos t e t , |
||
y 0 0, |
y, 0 1. |
|
|
4.19. |
y,, 9 y t 5e3t , |
|
|
y 0 2, y, 0 1. |
|||
4.20. |
y,, 9 y 3 cos 2t, |
|
|
y 0 0, |
y, 0 2. |
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4.21.y,, 4 y, 4 y 8 5e2t , y 0 0, y, 0 2.
4.22.y,, 3y, 2 y 3e t t,
0 4, y, 0 1.y
4.23.y,, 25y 3sin 5t 8, y 0 5, y, 0 2.
4.24.y,, 2 y, 3t 2et , y 0 1, , 0 0.y
4.25. |
y,, 8y, |
16 y sin 4t 5e 2t , |
y 0 2, |
y, 0 3. |
|
4.26. |
y,, 16y |
te4t cos 3t, |
y 0 0, |
y, 0 3. |