§3 Тригонометричні рівняння.

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

З властивостей функції випливає, що рівняння

має розв’язки лише за умови, що і множину його розв’язків можна задати формулою

.

Рівняння

також має розв’язки за умови , їх можна задати формулою

.

Особливий вигляд мають розв’язки рівнянь і у тих випадках, коли та .

при ;

при ;

при ;

при ;

при ;

при .

Розв’язки рівняння

можна подати у вигляді

,

а рівняння

у вигляді

.

Вправа 12. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Скористаємось формулою .

Тоді .

Вправа 13. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Скористаємось формулою .

.

Тоді .

Вправа 14. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Спочатку запишемо рівняння у вигляді . Скористаємось формулою . . Тоді

.

Вправа 15. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Спочатку запишемо рівняння у вигляді . Скористаємось формулою .

. В остаточній відповіді замінено на , оскільки множина їх значень однакова.

В деяких тригонометричних рівняннях доречно перейти до нової змінної й розв’язати спочатку алгебраїчне рівняння.

Вправа 16. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

За основною тригонометричною тотожністю:

або .

Нехай . Рівняння набуває вигляду . Його розв’язки: . Рівняння не має розв’язків. З рівняння маємо:

.

Вправа 17. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Область допустимих значень змінної: , .

Враховуючи, що , і переходячи до нової змінної , одержимо: або . Розв’язавши це рівняння одержимо: або . Тоді

або .

Введення допоміжного аргументу.

Для розв’язання рівняння виду

використовують такий алгоритм.

1. Розділимо обидві частини рівняння на .

2. Розглянемо таке число , що .

Тоді вихідне рівняння набуває вигляду: або , тобто зводиться до вигляду . Отже, рівняння (37) має розв’язки якщо .

Вправа 18. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Застосуємо вказану послідовність дій.

1. Розділимо обидві частини рівняння на . Одержимо .

2. Враховуючи, що , маємо:

або . Звідки отримаємо: або .

Однорідні тригонометричні рівняння.

Рівняння попереднього розділу при має вигляд

і називається однорідним рівнянням першого степеня.

Його можна розв’язати простіше, розділивши обидві частини на . Зауважимо, що це не приводить до втрати розв’язків, адже при , , ліва частина не дорівнює нулю. Одержимо або . Тобто отримаємо рівняння виду .

Вправа 19. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Звідки отримаємо: .

Рівняння виду

називають однорідним рівнянням другого степеня. Його можна розв'язати, розділивши обидві частини на . При цьому ми не втрачаємо розв’язки, адже при ліва частина не дорівнює , коли . Одержимо рівняння , яке можна розв’язати за допомогою введення нової змінної .Умовою розв’язності цього рівняння є виконання нерівності .

Зауважимо, що до рівняння виду можна звести також рівняння

, адже .

Вправа 20. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Перепишемо рівняння у вигляді:

.

Розділивши обидві частини на , маємо: , звідки або .

Отже або .

Нехай у рівнянні . Тоді воно має вигляд

і розпадається на сукупність двох рівнянь . Перше з цих рівнянь дає , а обидві частини другого при можна розділити на (адже корені рівняння вже враховані). Тоді друге рівняння набуває вигляду , звідки

.

Тригонометричні рівняння виду , ліва частина яких розкладається на множники.

Розклавши ліву частину рівняння на множники, прирівняємо кожен з них до нуля. Таким чином, рівняння розпадається на декілька більш простих рівнянь.

Вправа 21. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Знайдемо спочатку область допустимих значень (ОДЗ) змінної. .

Задане рівняння не рівносильне сукупності рівнянь адже корні першого з них не можна вважати коренями вихідного рівняння, оскільки вони не належать ОДЗ. Корені другого рівняння , які належать ОДЗ, і будуть коренями заданого рівняння.

Вправа 22. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Перепишемо рівняння у вигляді або

. ОДЗ: або .

Розклавши чисельник на множники, прирівняємо його до нуля. Одержимо:. Переходимо до рівносильної йому сукупності рівнянь або . Друге рівняння не має розв’язків, а розв’язки першого , належать ОДЗ і є відповіддю.

Вправа 23. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

ОДЗ: .

Застосувавши формулу одержимо або , звідки . Зауважимо, що корені першого рівняння співпадають з тими коренями другого, які відповідають парним значенням . Отже вся сукупність розв’язків заданого рівняння записується у вигляді .

За допомогою розвинення лівої частини на множники можна також розв’язати рівняння і , які є частинними випадками рівняння .

Застосувавши формулу зведення до першого з цих рівнянь приводимо його до вигляду . Розклавши ліву частину на множники за формулою , маємо або . Умовою його розв’язності є або . Тоді . Друге рівняння розв’язується аналогічно.

Універсальна тригонометрична підстановка.

Вкажемо один загальний метод, що дозволяє розв’язувати рівняння виду

.

Тут - раціональна функція відносно та . Для розв’язання рівняння будемо використовувати формули, які виражають тригонометричні функції через тангенс половинного кута.

,

,

де - універсальна тригонометрична підстановка.

Якщо підставити в рівняння вирази і , одержимо раціональне рівняння відносно змінної . Розв’язавши його, знайдемо невідому величину . Знаючи, що , знайдемо .

Зауважимо, що вказана підстановка може привести до втрати коренів. Тому слід перевірити, чи не будуть розв’язками рівняння такі значення , при яких не існує, тобто або , .

Вправа 24. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Зробивши універсальну тригонометричну підстановку, отримаємо або . Розв’язком якого є . Тоді , звідки .

Перевіримо, чи будуть числа , розв’язками рівняння. . Як бачимо, не будуть. Отже, множина всіх розв’язків записується у вигляді: .

Приклади розв’язання різних тригонометричних рівнянь.

Вправа 25. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Розділивши обидві частини рівняння на одержимо:

або .

За формулою маємо:

або .

Записавши різницю синусів у вигляді добутку, отримаємо:

.

Тоді .

Вправа 26. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

За допомогою формули перетворимо рівняння на рівносильне: або . Далі маємо:

. Зауважимо, що корені другого рівняння співпадають з тими коренями першого, які відповідають парним значенням . Отже сукупність розв’язків заданого рівняння запишемо у вигляді .

Вправа 27. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Застосувавши формули зниження степеня перейдемо до рівносильного рівняння:

або . Тоді

.

Вправа 28. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

ОДЗ: .

Прирівнявши чисельник до нуля маємо: . Тоді

. Серед отриманих розв’язків рівняння є такі, що не входять до області допустимих значень заданого рівняння. Їх містить множина , де - парне число. Виключивши їх з вказаної множини, одержимо відповідь: .

Вправа 29. Розв’язати рівняння .

Розв’язання.

Розв’язати задане рівняння – означає знайти абсцису точок перетину графіків функцій та . Перший з цих графіків - парабола з вершиною в точці . Вітки параболи спрямовані вгору, отже, для першої функції виконується нерівність , . Для другої функції маємо: . Отже, перетнутись графіки можуть лише в точці з ординатою . Оскільки на параболі є лише одна така точка , то рівняння матиме розв’язок (причому тільки один) лише в тому випадку, якщо другий графік проходить через цю точку.

Як бачимо, . Таким чином, рівняння має тільки один розв’язок: .