Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике - Полный курс
.pdf!il Итак, для нахождения производной сложной функции надо произ
водную данноit функции по nроме;нсуточному аргументу
умно;нсиmь на производную проме;нсуточного аргумента по
независимому аргументу.
Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов не
сколько. Так, если у = f(u), |
и = rp(v), v = g(x), то у~ = у~· и~ · v~. |
Пусть у= f(x) их= rp(y) - |
взаимно обратные функции. |
Теорема 20.6. Если функция у = f(x) строго монотонна на интер вале (а; Ь) и имеет неравную нулю производную f'(x) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х = rp(y) также име ет производную rp'(y) в соответствующей точке, определяемую равен-
ством rp'(y) = !'Сх) или х~ = :~.
О Рассмотрим обратную функцию х = rp(y). Дадим аргументу у при
ращение ду =f. О. Ему соответствует приращение дх обратной функции,
причем дх =/:-О в силу строгой монотонности функции у= f(x). Поэта-
му можно записать |
дх |
1 |
|
|
(20.7) |
||
|
ду - |
!;ш. |
дх
Если ду -+ О, то в силу непрерывности обратной функции прира-
щение дх -+ О. И так как lim ~дд = f'(x) =f. О, то из (20.7)
Лх-+0 Х
равенства lim |
ддх = |
1 |
д |
= f'(l |
х |
) , т.е. rp'(y) = 1,( |
х |
) . |
ду-+О |
У |
lim |
~ |
|
|
|
дх-+0 Лх
!il Таким образом, производная oбpamнoit функции обратноit величине производноit данноit функции.
следуют
•
равна
Правило дифференцирования обратной функции записывают так:
1 1 |
|
dy 1 |
Ух=/ |
ИЛИ |
dx = ([Х· |
Ху |
|
|
|
dy |
|
|
|
Пример 20.3. Найти производную функции у= log~tgx4 .
Q Решение: Данная функция является сложной. Ее можно предста вить в виде цепочки «простых» функций: у = и3, где и = log2 z, где z = tg q, где q = х4 • По правилу дифференцирования сложной функ
ции (у~ =у~· и~· z~ · q~) получаем:
у~= 3 · log~tgx4 |
1 |
1 |
4 |
х |
3 |
• |
· -~- |
-~~· |
|
||||
|
tgx4 · ln2 |
cos2 |
х4 |
|
· |
|
170
Пример 20.4. Пользуясь правилом дифференцирования обрат
ной функции, найти производную у~ для функции у= Vx - 1.
Q Решение: Обратная функция х = у3 +1 имеет производную х~ = Зу2.
Следовательно,
1 |
1 |
1 |
1 |
• |
Ух= |
х~ |
= Зу2 |
= 3 · \,/(х - 1)2 · |
20.б. Производные основных элементарных функций
Степенная функция у = xn, n Е N
Дадим аргументу х приращение дх. Функция у= xn получит при
ращение ду = (х + дх)n - xn. По формуле бинома Ньютона имеем
ду = (xn + п. xn-1 . дх + n(n2~ 1) xn-2 . дх2 + ... + (дх)n) - Xn =
|
= п. xn-1. дх + |
п(п -1) |
хn-2дх2 + ... + (дх)n |
. |
|
|
2! |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
ду |
п. xn-1. дх + n(n~l)xn-2дx2 +. + (дх)n |
|
||
-- |
2. |
|
- |
|
дх |
дх |
|
|
|
= п. xn-1 + п(п - 1) . xn-2. дх + ... + (дх)п-1.
2!
Находим предел составленного отношения при дх --+ О:
lim ду = |
lim (n·xn-1+!n·(n-l)·xn-2дx+·· ·+(Лх)п-1) = п·хп-1. |
|
Лх-+0 Лх |
Лх-+0 |
2 |
Таким образом, |
(xn)' = п. xn-1. |
|
|
|
|
Например, (х3 )' |
= Зх2 , (х2)' = 2х, х' = 1. |
|
Ниже (см. замечание на с. 175) будет показано, что формула произ
водной степенной функции справедлива при любом п Е IR (а не только
натуральном).
Показательная функция у =аж, а > О, а # 1
Найдем сначала производную функции у = ех. Придав аргументу
х приращение дх, находим приращение функции ду: ду = ех+дх-ех =
= ех(е |
д |
х - |
Д11 |
е2 (ед2 1) |
и |
|
1). Стало быть, ДХ = |
дх- |
l. ду |
l" х |
едх - 1 |
х l" |
едх - 1 |
х l" дх х 1 |
х |
im - = |
~те· |
дх |
=e·im |
Лх |
=e·im - =e· |
=е. |
дх-+ОЛх |
Лх-+0 |
Лх-+0 |
Лх-+ОЛх |
|
171
При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ех - 1 "" х при х ~ О.
Итак, у' = ех, т. е.
(ех)' = ех.
Теперь рассмотрим функцию у = ах, х Е Ж. Так как ах = ех ln а,
то по формуле производной сложной функции находим:
(ах)'= (exlna)' = exlna. (х · lna)' = ex\na · lna =ах· 1na.
Таким образом, (ах)'= ах lna.
Пример 20.5. Найти производную функции у= 7х2-4х.
Q Решение: Используя формулу производной сложной функции и
формулу производной показательной функции, находим
у'= (7х2 -4х)' = 7х2-4х · ln 7 · (х2 - 4х)' = 7х2-4х · ln 7 · (2х - 4). 8
Логарифмическая функция у = lo&. х, а > О, а =l 1
Найдем сначала производную функции у= lnx. Для нее
ду _ |
ln(x + дх) - lnx _ |
ln(~) _ |
ln(l + ~) |
|
|||||
дх |
|
дх |
|
дх |
|
дх |
|
||
Переходя к пределу при дх ~ О и воспользовавшись эквивалент- |
|||||||||
ностью ln ( 1 + ~) "" ~х при дх ~ О, получаем: |
-=-, |
||||||||
дх-+0 |
-= |
ln(l+ |
|
= |
|
|
|||
|
Ду |
|
дх) |
|
дх |
|
1 |
1 |
|
lim |
Лх |
|
lim |
х |
lim ~= lim |
|
Х |
||
|
|
дх-+0 дх |
|
дх-+0 Дх |
дх-+0 Х |
||||
т. е. у'= 1 или (lnx)' = 1.
хх
Теперь рассмотрим функцию у= loga х.
Так как log |
а |
х = lnx |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
1na' |
|
|
|
|
|
|
|
(logax)' =с::)'= 1:а.(lnx)' =l:a. ~- |
|
|
|
||||||
Таким образом, (loga х)' = - |
- . |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х · |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
na |
|
|
|
|
|
Пример 20. 6. |
Найти производную функции у = ln(x4 - |
2х2 + 6). |
|||||||
Q Решение: у'= |
х4 |
1 |
. (х4 - 2х2 + 6)' = |
4хз - 4х |
. |
8 |
|||
|
|
- 2х2 |
+ 6 |
|
х4 - 2х2 |
+ 6 |
|
|
|
Производную логарифмической функции у = loga х можно найти |
|||||||||
иначе. Так как обратной для нее функцией является х |
= |
аУ, |
то по |
||||||
формуле производной обратной функции имеем:
(log |
х)' = _1_ = |
1 |
= 1 |
а |
(аУ)' |
aY·lna |
x·lna· |
172
Тригонометрические функции у= sinx, у= cosx, у= tgx, у= ctgx
Для функции у = sin х имеем: |
|
|
|
|
|
|||||
ду _ |
sin(x + дх) - |
sin х _ |
2 sin ~ cos(x + |
~) _ |
sin .:;х |
( дх) |
||||
дх - |
дх |
|
- |
дх |
|
|
- |
дх cos |
х+ 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Переходя к пределу при дх -t О и воспользовавшись первым за |
||||||||||
мечательным пределом |
lim |
sinддx = 1, получаем |
|
|||||||
|
|
|
|
дх-+0 Х |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ду |
|
lim |
sin дх |
( |
|
дх) |
= 1 ·cos х, |
|
|
-д = |
---д--1- ·cos |
|
х + - |
|
|||||
|
дх-+0 |
Х |
дх-+0 |
--.} |
|
|
2 |
|
|
|
т. е. у'= cosx или (sinx)' = cosx.
Найдем производную функции y=cosx, воспользовавшись форму лой производной сложной функции:
(cosx)' = (sin(~-х))1 =cos(~-х)·(~-х)1 =cos(~-х)·(-1)=- sinx,
т. е. (cosx)'=-sinx.
Для нахождения производных функций y=tgx и y=ctgx восполь зуемся формулой производной частного:
(t |
х)'= ( sin х)'= (sin х)' cosx-sin x(cos х)' |
cos2 x+sin2 х |
1 |
||
g |
cos х |
cos2х |
cos2 х |
cos2х' |
|
т. е. (tgx)'=~. |
|
|
|||
|
cos |
х |
|
|
|
Проделав аналогичные операции, получим формулу |
|
||||
|
|
(ctgx)' = -s+ш х. |
|
|
|
Этот результат можно получить иначе: |
|
|
|||
|
(ctgx)'= |
(tg(~-x))'= cos2(~-x) ·(-l)=--sin-\-x. |
|||
Пример 20. 7. Найти производную функции у= cos2x. |
• |
||||
Q Решение: (cos2x)' = -sin2x · (2х)' = -2sin2x. |
|||||
|
|||||
Обратные тригонометрические функции у= arcsinx, у= arccosx, |
|||||
у= arctgx, у= arcctgx |
|
|
|||
Пусть у = |
arcsinx. Обратная ей функция имеет вид х |
= siny, |
|||
у Е [-~;~].На интервале (-~; ~) верно равенство х' = cosy-:/:- О.
По правилу дифференцирования обратных функций |
|
|||||||
( |
. |
)' |
1 |
1 |
1 |
у - |
1 |
х2' |
|
arcsшx |
= |
(siny)' = |
cosy = |
J1 - sin2 |
J1 - |
||
173
rде перед корнем взят знак плюс, так как cos у > О при у Е (- ~; ~).
Итак, (arcsinx)' = |
J11-x2 . |
|
|
Аналогично получаем, что (arccosx)' = - J 1 |
. Эту формулу |
||
|
|
1-х2 |
|
можно получить проще: так как arccos х + arcsin х = |
i, т. е. arccos х = |
||
2 |
2 |
|
1 . |
= ZL - arcsinx, то |
(arccosx)' = (к - arcsinx)' = - |
|
|
|
|
Vl-x2 |
|
Найдем производную функции у= arctgx.
Она является обратной к функции х = tg у, rде у Е ( -i; ~).
Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, по-
лучаем, что
|
(arctgx)' = - |
1 |
|
|
2 |
у= |
1 |
2 |
|
= |
- |
1 |
|
|
- =---}.- = cos |
|
1 + tg |
у |
- . |
||||||||
|
(tgy)' |
::::::г.: |
|
|
|
|
1 + х |
2 |
|||||
|
|
|
cos |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, (arctgx)' = ~l. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
+х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции arctg х и arcctg х связаны отношением |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1Г |
|
|
|
1Г |
- arctg х. |
|
||||
|
arctg х + arcctg х = |
"2, |
т. е. |
arcctg х = 2 |
|
||||||||
Дифференцируя это равенство, находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(arcctgx)' = |
(i-arctgx)' = -(arctgx)' = -1:х2' |
|
||||||||||
т. е. |
1 +х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(arcctgx)' = -~1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 20.8. Найти производные функций: 1) y=arccosx2 ; 2) у=
=x·arctgx; 3) у=(1+5х-3х3)4; 4) y=arccosy'X; 5) y=log~(З+2-x).
Q Решение: 1) (arccosx2 )' = - |
1 |
· (х |
2 |
)'= - |
2х |
|
J1 - (х2)2 |
|
~; |
||||
|
|
|
|
|
1 - х4 |
|
|
|
|
|
|
|
х |
2) (х · arctgx)' = х' · arctgx + х · (arctgx)' = arctgx + --2 ; |
||||||
|
|
|
|
|
|
1+х |
3) ((1+5х - Зх3)4)' = 4(1+5х - 3х3)3 |
• (5 - 9х2); |
|
||||
4) (arccos у'Х)' = |
1 |
1 |
|
|
|
|
J1 - (у'Х)2 . 2у'Х; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
5) (log~(З+2-х))' = Зlоg~(З+2-х) · (З + 2_1х) ln 3 · 2-х · ln 2 · (-1). 8
174
Заме'Чание: Найдем производную степенной функции у = х°' с лю бым показателем а Е Ilt В этом случае функция рассматривается для
х >о.
Можно записать х°' = ea·In х. По правилу дифференцирования
сложной функции находим
1 |
х°' |
=а. х°'-1, |
(х°')' = (ea:·lnx)' = eo"Inx. (а· lnx)' =а. ea·lnx. - |
=а. - |
|
х |
х |
|
т. е. (х°')' = а· х°'-1 .
Формула остается справедливой и для х <О, если функция у= х°'
существует:
при всех х # О.
Пример 20.9. Показать, что функция у= ~2 + 2~2 +С удовле
творяет уравнению х3 · у' + 1 = х4 .
Q Решение: |
Находим у': |
|
|
|
|
|
' |
1 |
1 ( |
) -3 |
+О, |
|
у = |
2" ·2х + 2" · -2 |
х |
||
т. е. у' = х - |
-:5r. Подставляем значение у' в данное уравнение: |
||||
|
х |
|
|
|
|
х3 · ( х - : 3 ) + 1 = х4, т. е. х4 - 1+1 = х4, О= О.
Функция удовлетворяет данному уравнению. |
• |
|
20.7.Гиперболические функции и их производные
Вматематике, механике, электротехнике и некоторых других дис
циплинах встречаются гиперболи'Ческие функции, определяемые следу ющими формулами:
~ sh х = |
ех |
-2е-х |
- |
гиперболический синус; |
|
|
|
|
||||||
ch х = ех + |
е-х |
- |
гиперболический косинус («цепная линия»); |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
х + |
|
|
|
|
th х = |
h |
|
= е |
х |
- е |
-х |
и cth х |
h |
е |
е |
-х |
- |
гиперболиче- |
|
~ |
|
|
= ~ = |
|
|
|||||||||
|
сh х |
ех |
+ е-х |
|
shx |
ех - |
е-х |
|
|
|||||
ский тангенс и котангенс, где е - |
неперово число. |
|
|
|
||||||||||
На рисунках 132-135 показаны графики гиперболических функ
ций.
Между гиперболическими функциями существуют следующие ос
новные зависимости:
175
|
х |
|
|
о |
х |
Рис. 132 |
Рис. 133 |
|
у |
---------~-\:::_ |
|
1 |
||
|
о |
х |
|
|
|
Рис. 134 |
Рис. 135 |
ch2 х - |
sh2 х = 1; |
|
||
sh(x ±у)= shx · chy ± chx · shy; |
||||
ch(x ±у)= chx · chy ± shx · shy; |
||||
( |
у |
) - |
th х ± th у . |
|
th х ± |
- |
1 ± th х . th |
у' |
|
sh2x = 2shx · chx; |
ch2x = ch2 х + sh2 х. |
|||
Все эти формулы вытекают из определения гиперболических функций.
Например, |
|
|
|
|
|
|
сh2 x-sh2 х= ( ех + е-х )2 |
- |
(ех -е-х )2 |
= |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
= |
1 |
|
|
1 |
= 1 |
|
-(е2х |
+ 2 + е-2х - е2х + 2 - е-2х) = - . 4 |
. |
||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
176
Геометрическая интерпретация гиперболических функций (см.
рис. 137) аналогична интерпретации тригонометрических функций (см.
рис. 136).
у
у
1
о |
вх |
о |
х |
|
|
Рис. |
|
|
136. |
Параметрические |
Рис. 137. Параметрические уравнения |
|
|||||||||
|
уравнения |
х = |
cos t |
и |
у = |
х = ch t |
и у = sh t |
определяют гипер |
|
|||||||
|
= sin t |
определяют окружность |
болу х2 |
- у2 |
= 1, |
причем ОА = ch t, |
|
|||||||||
|
х2 +у2 |
= 1, причем ОА = cost, |
АМ = sht |
|
|
|
|
|||||||||
|
АМ =sint |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Найдем производные гиперболических функций: |
|
||||||||||||||
|
(shx)' = |
( ех - 2е-х)' = ех i |
е-х |
= chx, т. е. (shx)' = chx; |
|
|||||||||||
|
(chx)' = |
(ех "1е-х)' = ех -2е-х |
= shx, т. е. (chx)' = shx; |
|
||||||||||||
|
(thx)' = |
( shx )' |
= |
|
(shx)' chx - shx(chx)' |
ch2 х - sh2 х |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
chx |
|
|
|
|
ch2 х |
|
|
|
ch х |
|
|
= |
1 |
х |
, т. е. (th х)' |
= |
1 |
х |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ch2 |
|
|
|
|
ch2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(cthx)'=(chx)'=sh2x-ch2x=- 1 |
х |
,т.e.(cthx)'=- 1 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
sh х |
|
|
sh |
х |
|
sh2 |
|
sh2 |
х |
||
20.8. Таблица производных
Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.
На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «Х» заменен на промежуточный аргу
мент «U».
Правила дифференцирования
1.(и± v)' =и'± v';
2.(и· v)' = u'v + uv', в частности, (си)'= с· и';
177
3.(~)' = и'v; иv', в частности,(~)'=_,_;
4.у~ =у~· и~, если у= f(u), и= rp(x);
5.у~= J,., если у= f(x) их= rp(y).
|
|
Ху |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы дифференцирования |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. (с)' |
= О; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
(и°')' = а · и°'- |
1 |
·и', в частности, (.jU)' = |
|
1 |
|
·и'; |
|
||||||||||
|
|
|
;:: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2vи |
|
|
|
||
3. |
(аи)' =аи· ln а· и', в частности, (еи)' = еи ·и'; |
|
|
|
||||||||||||||
4. |
(log |
|
и)' = |
- |
- |
|
· и' |
|
в частности (ln и)' = |
1 ·и'· |
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
' |
|
|
' |
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
а |
|
и· lпа |
|
|
|
и |
|
|
|
|||||||
5. |
(sinu)' = соsи·и'; |
|
|
6. |
(cosu)' = |
-sinu·u'; |
|
|||||||||||
7. |
(tgu)' = |
1 |
|
|
|
·и'; |
|
|
8. |
(ctgu)' = |
- |
. |
1 |
|
·и'; |
|
||
|
|
|
cos2 и |
|
|
|
|
|
|
|
sш2 и |
|
|
|||||
9. |
(arcsinu)' = |
|
|
|
1 |
|
·и'; |
10. |
(arccosu)' = |
- |
|
|
1 |
·и'; |
||||
|
|
|
|
|
J1-u2 |
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|||||
11. |
(arctgu)' = |
|
|
1 |
|
|
|
12. |
(arcctgu)' = -~1 . и'; |
|||||||||
~l ·и'; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+и |
|
|
|
|
|
|
|
+и |
|
||||
13. (sh и)'= ch и· и'; |
|
|
14. |
(ch и)'= sh и· и'; |
|
|
||||||||||||
15. (th и)' = |
1 |
и |
|
· и'; |
|
|
16. |
(cth и)' = |
- |
1 |
и |
· и'. |
|
|||||
|
|
|
ch2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 |
|
|
||||
Для вычисления производных надо знать лишь правила диффе ренцирования и формулы производных основных элементарных функ ций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.
При.мер 20.10. Найти производную функции у= х4 -3х3 +2х-1.
Q Решение: |
|
у'= (х4 - 3х3 + 2х - 1)' = (х4)' - (3х3)' + (2х)' - (1)' = |
|
= 4х3 - 3(х3)' + 2(х)' - О= 4х3 - 9х2 + 2. |
8 |
Надо стараться обходиться без лишних записей. |
|
При.мер 20.11. Найти производную функции у= 2tx3 . |
|
|||
|
|
gx |
|
|
Q Решение: |
|
|
|
• |
у' = ( 2х3 )' = 2 . (х3)' · tg х - х3 · (tg х)' |
= 2 . 3х2 · tg х - х3 |
· со;2ж |
||
tgx |
(tgx) 2 |
(tgx) 2 |
|
|
Производная найдена. В процессе решения использованы правила |
||||
2, 3 и формулы 2, |
7. |
|
|
|
При.мер 20.12. Найти производную функции у= cos(ln12 2х).
178
Q Решение: Коротко: у' = - sin(ln12 2х) · 12 ln11 2х · 2~ · 2.
Решение с пояснениями: данную функцию можно представить сле
дующим образом: у = cosu, и = t12 , t = lnz, z = 2х. Производную
сложной функции найдем по правилу у~ = у~ · и~ · t~ ·z~ (здесь проме жуточных аргументов три):
|
|
|
у |
1 |
|
• |
|
. |
12 |
. t |
11 |
|
|
1 |
|
2 |
, |
|
|
||
|
|
|
|
= - sш и |
|
|
|
|
. - . |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
s•ш t 12 ·12 ·(1n z)11 · |
21х · 2, |
|
||||||||||||||
|
Ух1 |
|
= |
- |
|
||||||||||||||||
т. е. |
|
|
|
|
|
(1 |
|
)12 |
|
12 |
|
l |
|
11 |
|
|
|
1 |
|
||
|
у |
1 |
|
|
• |
nz |
· |
· |
n |
|
|
|
|
||||||||
|
х |
=-s1n |
|
|
|
|
|
|
|
z·-, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
т. е. |
у~ = |
|
sin(ln12 2х) · 12 · ln11 |
2х· .!:.. |
|
||||||||||||||||
|
- |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
Окончательно |
у' |
|
|
-12 · sin(ln12 2х) · ln11 |
2х |
· .!:.. |
• |
||||||||||||||
|
|
= |
|||||||||||||||||||
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
§21. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ
ИПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ
21.1. Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у= f(x), разрешенным относи
тельно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
~Под неявным заданием функции понимают задание функции в • виде уравнения F(x;y) =О, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у = f (х) можно записать как
неявно заданную уравнением f(x) - у= О, но не наоборот.
|
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение от |
носительно у (например, у+ 2х + cosy - 1 =О или 2У - х +у= О). |
|
li |
Если неявная функция задана уравнением F(x; у) =О, то для нахо- |
ждения производной от у по х нет необходимости разрешать урав
нение относительно у: досmаmично nродифферен:цироваmь это уравнение no х, рассматривая nри этом у как функцию х,
и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Пример 21.1. Найти производную функции у, заданную уравне
нием х3 + у3 - 3ху = О.
179