Приближенное решение краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа
Пример3. Найти решение смешанной краевой задачи для дифференциального уравнения параболического типа (уравнения теплопроводности) методом сеток
,
,
,
,
.
Граничные и начальные условия для искомой задачи
,
,
,
,
.
Получим сеточную область
,
для этого, полагая,
имеем
.
Шаг по
определим из условия
,
,
;
тогда число разбиений по
получим из выражения
,
.
Применяя метод сеток по схеме
,
,
,
получим
таблицу значений
|
0,0000 |
0,1250 |
0,2500 |
0,3750 |
0,5000 |
0,6250 |
0,7500 |
0,0000 |
0,1200 |
0,8231 |
1,4325 |
1,9481 |
2,3700 |
2,6981 |
2,9325 |
0,0026 |
0,3020 |
0,8075 |
1,4169 |
1,9325 |
2,3544 |
2,6825 |
2,9169 |
0,0052 |
0,4826 |
0,8248 |
1,4013 |
1,9169 |
2,3388 |
2,6669 |
2,9013 |
0,0078 |
0,6601 |
0,8638 |
1,3911 |
1,9013 |
2,3231 |
2,6513 |
2,8856 |
0,0104 |
0,8331 |
0,9178 |
1,3883 |
1,8865 |
2,3075 |
2,6356 |
2,8700 |
0,0130 |
1,0002 |
0,9821 |
1,3929 |
1,8737 |
2,2920 |
2,6200 |
2,8544 |
0,0156 |
1,1600 |
1,0536 |
1,4045 |
1,8633 |
2,2770 |
2,6044 |
2,8388 |
0,0182 |
1,3112 |
1,1298 |
1,4225 |
1,8558 |
2,2626 |
2,5889 |
2,8231 |
0,0208 |
1,4525 |
1,2088 |
1,4459 |
1,8514 |
2,2492 |
2,5735 |
2,8075 |
0,0234 |
1,5827 |
1,2890 |
1,4740 |
1,8501 |
2,2369 |
2,5585 |
2,7920 |
0,0260 |
1,7008 |
1,3688 |
1,5058 |
1,8519 |
2,2260 |
2,5438 |
2,7765 |
0,0286 |
1,8058 |
1,4469 |
1,5407 |
1,8566 |
2,2166 |
2,5296 |
2,7611 |
0,0313 |
1,8967 |
1,5224 |
1,5777 |
1,8639 |
2,2088 |
2,5160 |
2,7460 |
0,0339 |
1,9729 |
1,5940 |
1,6162 |
1,8737 |
2,2025 |
2,5032 |
2,7310 |
0,0365 |
2,0337 |
1,6608 |
1,6554 |
1,8856 |
2,1978 |
2,4910 |
2,7163 |
0,0391 |
2,0787 |
1,7221 |
1,6947 |
1,8993 |
2,1946 |
2,4797 |
2,7020 |
0,0417 |
2,1074 |
1,7769 |
1,7333 |
1,9144 |
2,1929 |
2,4693 |
2,6881 |
0,0443 |
2,1195 |
1,8247 |
1,7708 |
1,9306 |
2,1926 |
2,4597 |
2,6746 |
0,0469 |
2,1151 |
1,8649 |
1,8064 |
1,9476 |
2,1934 |
2,4510 |
2,6616 |
0,0495 |
2,0941 |
1,8968 |
1,8397 |
1,9651 |
2,1954 |
2,4431 |
2,6490 |
|
0,8750 |
1,0000 |
1,1250 |
1,2500 |
1,3750 |
1,5000 |
0,0000 |
3,0731 |
3,1200 |
3,0731 |
2,9325 |
2,6981 |
2,3700 |
0,0026 |
3,0575 |
3,1044 |
3,0575 |
2,9169 |
2,6825 |
2,3700 |
0,0052 |
3,0419 |
3,0888 |
3,0419 |
2,9013 |
2,6695 |
2,3700 |
0,0078 |
3,0263 |
3,0731 |
3,0263 |
2,8861 |
2,6582 |
2,3700 |
0,0104 |
3,0106 |
3,0575 |
3,0107 |
2,8714 |
2,6481 |
2,3700 |
0,0130 |
2,9950 |
3,0419 |
2,9953 |
2,8574 |
2,6390 |
2,3700 |
0,0156 |
2,9794 |
3,0263 |
2,9801 |
2,8440 |
2,6306 |
2,3700 |
0,0182 |
2,9638 |
3,0108 |
2,9651 |
2,8311 |
2,6227 |
2,3700 |
0,0208 |
2,9482 |
2,9953 |
2,9504 |
2,8187 |
2,6153 |
2,3700 |
0,0234 |
2,9326 |
2,9800 |
2,9359 |
2,8068 |
2,6083 |
2,3700 |
0,0260 |
2,9170 |
2,9647 |
2,9217 |
2,7952 |
2,6017 |
2,3700 |
0,0286 |
2,9016 |
2,9496 |
2,9078 |
2,7841 |
2,5953 |
2,3700 |
0,0313 |
2,8862 |
2,9346 |
2,8942 |
2,7732 |
2,5892 |
2,3700 |
0,0339 |
2,8709 |
2,9198 |
2,8808 |
2,7627 |
2,5834 |
2,3700 |
0,0365 |
2,8557 |
2,9052 |
2,8676 |
2,7525 |
2,5777 |
2,3700 |
0,0391 |
2,8407 |
2,8907 |
2,8547 |
2,7425 |
2,5722 |
2,3700 |
0,0417 |
2,8259 |
2,8763 |
2,8420 |
2,7328 |
2,5669 |
2,3700 |
0,0443 |
2,8114 |
2,8622 |
2,8295 |
2,7234 |
2,5617 |
2,3700 |
0,0469 |
2,7970 |
2,8483 |
2,8173 |
2,7141 |
2,5567 |
2,3700 |
0,0495 |
2,7830 |
2,8346 |
2,8053 |
2,7051 |
2,5518 |
2,3700 |
Поверим угловые точки:
,
.
Для
этой точки имеем
(начальное условие) и
(граничное условие) т.е.
.
,
.
Для
этой точки имеем
(начальное условие) и
(граничное условие) т.е.
.
,
,
.
,
.
Полученные результаты говорят, что численное решение отвечает начальным и граничным условиям исходной задачи.
Если построить по полученным значениям распределение температуры, то получим следующую поверхность.
Проведем сечения полученной поверхности плоскостями перпендикулярными координатным осям.
Оценку
погрешности найденных значений искомой
функции
получим из оценки погрешности аппроксимации
уравнения теплопроводности
,
полагая что вычислительные погрешности
намного меньше данной оценки.
Тогда
имеем
,
следовательно, результаты имеют 4 верных
знака.
Вывод.
Из полученных графиков можно сделать вывод, что найденное решение поставленной задачи качественно верно отражает исследуемый процесс. Численные значения температуры могут быть использованы (в пределах погрешности) при численном моделировании процессов теплообмена и последующих вычислениях.
Из
графиков сечений видим, что тепловой
поток на левой границе (
)
прогревает приповерхностный слой
материала, медленно продвигая температурный
фронт во внутрь тела. При этом начальное
распределение температуры задает
основной тепловой режим в дали от границ.