Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Львовский национальный университет им. И. Франко

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

fizykam metod.doc

Скачиваний:

Добавлен:

08.05.2019

Размер:

1.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 66

Комплексні числа

Нехай - множина все можливих впорядкованих пар дійсних чисел . Множина з введеними на ній операціями додаванням й множенням утворює поле, яке називається полем комплексних чисел.

Введемо позначення . Тоді , або .

Впорядковану пару дійсних чисел називають комплексним число і записують у вигляді .

Запис - алгебраїчна форма комплексного числа . Дійсне число називається дійсною частиною z і позначається . Дійсне число називається уявною частиною z і позначається , - уявна одиниця.

Нехай , , , ,

Комплексне число називається комплексно спряженим до числа z і позначається .

Мають місце наступні|слідуючі| властивості, що легко перевіряються, для будь-яких :

1. ;

2. Число z буде дійсним тоді і лише тоді, коли ;

3. Число завжди дійсне і невідємне;

4. ;

Приклад 1.28. Добути квадратній корінь з комплексного числа.

Розв’язання. Нехай - довільне комплексне число. Припустимо, що квадратній корінь з нього існує та дорівнює , тобто . Тоді , або . Визначимо тепер і :

або .

Звідси випливає, що ; .

Для знаходження значення , заданими цими формулами, не можна комбінувати довільно, оскільки згідно з формулою знак добутку має збігатися зі знаком числа .

Приклад1.29. Розв’язати квадратне рівняння .

Розв’язання. Обчислимо

а також . Нехай . Тоді за формулами для і з попереднього прикладу ; .

Таким чином, або .

Отже, ;

Комплексне число зображується точкою площини, або вектором , який виходить із початку координат, а кінець цього вектора є точка .

Довжина радіуса-вектора називається модулем комплексного числа , а кут , утворений радіусом-вектором з додатнім напрямом даної осі – аргументом цього числа . Очевидно, що

а визначити з рівностей

; ,

але (у зв’язку з періодичністю і ) не однозначно, а з точністю до доданків, кратних до .

Подаючи комплексне число у тригонометричній формі аргумент беремо в межах .

Зауважимо, що для визначення потрібно використати обидві формули, оскільки значення тільки однієї тригонометричної функції не дає змоги визначити, в якій чверті лежить шуканий кут.

При переході від алгебраїчної форми комплексного числа до тригонометричної доцільно спочатку зобразити дане число відрізком координатної площини. Це полегшує знаходження значення аргументу.

Нехай

; .

Тоді

;

- формула Муавра.

де .

Приклад 1.30. Знайти геометричне місце точок, що зображають комплексні числа , які задовольняють умови: ; .

Розв’язання. Нехай , тоді , або . Звідси . А цю умову задовольняють, як відомо, усі точки круга з центром у точці і радіусом 3 /рис.1.1/.

Заштрихована фігура і є зображенням усіх комплексних чисел, які задовольняють задані умови.

Рис.1.1

Приклад 1.31. Обчислити

Розв’язання. Подамо числа ; в тригонометричній формі:

;

; ;

;

; ;

Приклад 1.32. Обчислити

Розв’язання. Тригонометрична форма числа має вигляд . Тоді за формулою добування кореня -го степеня з комплексного числа, маємо

, де ,

звідки

;

Іншою часто використовуваною формою представлення комплексних чисел, є їх експоненціальна форма, яка виходить перетворенням тригонометричної форми за формулою Ейлера:

У цьому випадку з випливає, що .

Використання експоненціальної форми запису комплексних чисел може спростити вирішення деяких завдань, оскільки при перемножуванні комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються.

Наприклад

або

Приклад 1.33. Знайти який-небудь дійсний розвязок рівняння .

Розв’язання. З формули Ейлера виходить, що дане рівняння можна записати у вигляді або , де . Звідки знаходимо |находимо|, тобто|цебто| або остаточно .

МНОГОЧЛЕНИ ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Розглянемо многочлени від однієї змінної над полем дійсних чисел .

Многочленом від однієї змінної над полем називається вираз виду , де - довільне ціле невід’ємне число; - елементи ; - деякі символи.

Многочлени від змінної позначатимемо малими латинськими буквами: , тощо.

Нехай .

Степінь многочленна ,

, , , .

Введемо операції додавання та множення многочленів:

;

; при ; при .

Легко довести, що сукупність многочленів відносно так введених операцій додавання та множення утворює кільце, яке називається кільцем многочленів над полем і позначається .

У кільці виконується алгоритм ділення з остачею, тобто

; ; ,

такі, що справджується рівність .

Многочлени та називаються відповідно часткою та остачею від ділення многочлена на і визначаються однозначно.

Теорема Гауса. Довільний многочлен n-го степення з комплексними коефіцієнтами має рівно n-коренів, якщо кожен кратний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність.

Наслідок: Якщо C₁,C₂…C_n – корені ƒ(х), то ƒ(х)= a₀(x-C₁)(x-C₂) … (x-C_n)

Теорема Безу. Многочлен ƒ(х) при діленні на (х-с) дає остачу рівну значенню цього многочлена, при х=0, тобто ƒ(с).

Наслідок: Якщо с- корінь многочлена ƒ(х), то остача від діленняя ƒ(х) на (х-с) дорівнює нулю.

Твердження 1 Якщо многочлен з цілим коефіцієнтами, то цілі корені цього многочлена є дільниками його вільного члена.

Твердження 2. Якщо є коренем многочлена , то спряжене комплексне число також є коренем цього многочлена.

Приклад 1.34. Виконати ділення з остачею, якщо

; .

Розв’язання.

Отже, .

є коренем многочлена тоді і тільки тоді, коли ділиться на , але не ділиться .

Приклад 1.35. Число є коренем многочлена . Знайти всі інші корені цього многочлена та розкласти його на множники.

Розв’язання. Оскільки - корінь многочлена , то - також корінь цього многчлена. За теоремою Безу многчлен ділиться на дійсний двочлен .

Справді,

Отже, .

Будемо тепер шукати корені многочлена серед дільників його вільного члена: . Для знаходження коренів многочлена та визначення їх кратності можна скористатися схемою Горнера, або зробити просту перевірку.

Легко перевірити, що 1 - двократний корінь многочлена , тому .

Корені многочлена легко знайти – це 2 і 3. таким чином, маємо канонічний розклад многочлена .

Спільний дільник многочленів і , який ділиться на інший спільний дільник цих многочленів, називається найбільшим спільним дільником многочленів ,і і позначається .

Многочлени , називається взаємно простими, якщо кожний їх спільний дільник є многочленом нульового степеня.

Для знаходження найбільшого спільного дільника двох многочленів застосовується алгоритм Евкліда.

Приклад 1.36. Знайти найбільший спільний дільник многочленів та .

Розв’язання. Ділимо на . При цьому, щоб уникнути дробових коефіцієнтів, перший з них множимо на 3. зрозуміло, що при цьому частка й остача також будуть помножені на 3, що не має істотного значення, бо всі многочлени визначаються з точністю до сталого множника. Маємо

Оскільки в процесі ділення ще раз було виконано множення на 3, то при цьому частка вийшла неправильна, бо її перший коефіцієнт у 3 рази, а другий – у 9 разів більший за той, який має бути. Що ж до остачі, то вона збільшилась в 9 разів. Оскільки нас цікавить не частка, а остача і оскільки цю остачу можна визначити з точністю до сталого множника, то такий процес ”порушеного ділення” приведе до мети.

Таким чином, . Ділимо далі:

Отже, . Продовжується ділення

Таким чином, .

Завдання 1. З’ясуйте, чи утворюють групу такі множини відносно зазначених операцій:

множина всіх невід’ємних цілих чисел відносно додавання;
множина цілих чисел відносно віднімання;
множина всіх цілих чисел, кратних деякому цілому числу n відносно додавання;
множина раціональних чисел відносно додавання, множення;
множина відмінних від нуля раціональних чисел відносно множення;
множина чисел виду , де a, b довільні раціональні числа відносно додавання;
множина чисел виду , де a, b довільні раціональні числа, не рівні одночасно нулю, відносно множення;
множина степенів даного дійсного числа а, де і з цілими показниками t відносно множення;
множина всіх підмножин даної множини відносно об’єднання.
м

*

-1

1

-1

1

-1

1

-1

1

мал.2.3.
ножина підстановок відносно операції множення підстановок
множині М={-1, 1} задана таблицею Келі (мал.2.3.)

*	1	і	-1	-і
1	1	і	-1	-і
і	і	-1	-і	1
-1	-1	-і	1	і
-і	-і	1	і	-1

мал.2.4.

ножина М={-1, 1} відносно операції заданої таблицею Келі (мал.2.3.);

множина А={1, і, -1, -і} відносно операції заданої таблицею Келі (мал.2.4.);
множина функцій f₀(x)=x, f₁(x)=1/x, f₂(x)=1-x, f₃(x)=x/(x-1), f₄(x)=(x-1)/x, f₃(x)=1/(1-x) відносно суперпозиції функцій;
множина парних підстановок n-го степеня відносно множення підстановок;
множина непарних підстановок n-го степеня відносно множення підстановок;
множина підстановок відносно множення підстановок.
множина всіх чисел виду , де a, b, с - довільні цілі числа;
множина всіх чисел виду , де a, b, с - довільні раціональні числа;
множина всіх чисел виду , де a, b, с - довільні дійсні числа.
множина раціональних чисел, які можна подати у вигляді дробів з парними знаменниками;
множина раціональних чисел, які можна подати у вигляді дробів з непарними знаменниками;
множина чисел виду lg a, де а – довільне дійсне додатне число;
множина многочленів другого степеня , де a, b, c – раціональні числа.
множина многочленів другого степеня , де a, b, c –дійсні числа.

Завдання 2. Знайти геометричне місце точок, що зображають комплексні числа , які задовольняють такі умови:

; .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
|z — z₁|<4, де z₁ = 3 — 5i.
|z + z₂|>6, де z₂ = 1—i.
1 < |z — i|< 3.
0< |z +i|< 1.
0<Re(3iz)<2.
Re(l/z)>a, де а = const, a  R
Re ((z — ai)/(z + ai)) = 0, де a = const, a  R.
Im(iz)<2.

Завдання 3. Обчислити.

а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .
а/ ; б/ .

Завдання 4. Для варіантів 1 – 12 користуючись алгоритмом Евкліда, знайти найбільший спільний дільник многочленів, для варіантів 13-25 знайти всі інші його корені та розкласти многочлен на незвідні дійові множники, якщо відомо, що число - корінь многочлена .