Підгрупи

Не порожня множина H групи G називається підгрупою, якщо вона є групою відносно визначеної в групі G операції.

Зауважимо, що не підмножина групи G є підгрупою. Розглянемо, наприклад підмножину групи Тут . Отже сума деяких елементів множини А їй не належать. Якщо тепер множину А розглядати у відриві від групи, але з операцією, яка була визначена в групі, то не для всіх елементів цієї множини існує сума.

Критерій підгрупи.

Твердження. Підмножина Н групи G є підгрупою тоді і лише тоді, коли:

а) для довільних : ;

б) для кожного : .

Справді, умова а) дозволяє ввести на множині ту ж саму операцію,яка була в групі G разом з властивістю асоціативності.

Умова б) забезпечує існування обернених елементів в . Нарешті, з умов а) і в) випливає, що нейтральний елемент групи належить до

:

Умови а) і б) можна замінити одною:

.

Пропонуємо, як вправу, довести, що а), б) г).

Приклади підгруп: а) Кожна група G має так звані тривіальні підгрупи: і G.

б) В ланцюгу кожна попередня група є підгрупою наступної.

в) В групі підгрупою є множина .

г) В групі C(R) підмножина многочленів є підгрупою.

Приклад 1.24. Знайти всі підгрупи .

Розв'язок. Це дві тривіальні групи: , . Підгрупа парних підстановок з таблицею Келі

	e a b
a b	a b e b e a

Три підгрупи другого порядку:

З однаковими таблицями Келі:

	e с..
e c	e с c e

СУМІЖІ КЛАСИ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА.

Нехай H підгрупа групи G. Задамо відношення на групі G . Вважатимемо, що , тобто два елементи еквівалентні, якщо добуток . Покажемо, що відношення еквівалентності.

а) бо (бо H – підгрупа).

б) Якщо , то . Дійсно, з того, що випливає, що і .

Однак , бо =

в) Покажемо, що з і випливає .

Нехай і тоді , бо підгрупа. Однак = .

З а), б), в) випливає, що відношення еквівалентності на групі G. За теоремою 2.5 групі G розбивається на класи, що не перетинаються:

Кожен такий клас складається з тих елементів , що . . Іншими словами, коли для деякого , або .Отже, класи еквівалентності – це множини .

Наприклад. а)Нехай група цілих чисел, кратних числу 3. Суміжний клас, утворює число 1 є множиною 1+3 Це всі цілі числа, які при діленні на 3 дають остачу 1. Зрозуміло, що існують тільки 3 рівні класи групи за підгрупою

б) Нехай , .Суміжний клас, утворений елементом в бо , а . Елементом продовжується клас що складається з елементів Ясно, що більше класів немає, бо

Теорема Лагранжа: Порядок будь-якої підгрупи скінченної групи G є дільником порядку групи.

Доведення: Оскільки група G є об’єднанням класів в еквівалентності, що не перетинаються. А кожен клас містить однакову кількість елементів , де порядок підгрупи , то порядок групи G рівний ,де кількість класів еквівалентності, тобто = .Теорему доведено.

Наслідок. Група простого порядку немає жодних підгруп, крім тривіальних.

Зауваження. Не слід думати, що для будь-якого дільника порядку групи завжди існує підгрупа порядку .

Приклад 1.25. Нехай - підгрупа групи , - фіксований елемент групи . Лівим суміжним класом групи за підгрупою назвемо множину елементів виду gh, де h пробігає всі елементи підгрупи ; цю множину позначатимемо через g . Аналогічно, множина називається правим суміжним класом групи за підгрупою . Довести, що таке розбиття групи на класи співпадає з розбиттям групи на класи еквівалентності по відношенню, описаному як .

1. Нехай і - підгрупа парних підстановок.

Знайдемо ліві суміжні класи за підгрупою .

Виявляється .

Наступний приклад показує, що таке спів падіння суміжних класів не є обов'язковим.

2. Нехай , . Лівий суміжний клас, породжений елементом d, складається з двох елементів Правий суміжний клас складається також з двох елементів .

3. Обчисліть самостійно ліві та праві суміжні класи за підгрупою і перевірте, що вони не співпадають.