Поняття про момент інерції

При обертальному русі, так як і при поступальному, тілам також властива інертність. Тобто вони прагнуть зберегти свою кутову швидкість незмінною. Нагадаємо, що при поступальному русі цю властивість характеризує маса тіла т . При обертальному русі, крім маси тіла, має значення і відстань, на якій розміщена ця маса відносно осі обертання.

Інерційні властивості тіл при обертальному русі оцінюють, розраховуючи величину, яка називається моментом інерції тіла. Для цього тверде тіло розглядається як сукупність окремих матеріальних точок маси , що здійснюють обертальний рух навколо певної осі (рис. 2.8).

Моментом інерції матеріальної точки відносно даної осі називається скалярна величина , що дорівнює добутку маси на квадрат відстані від точки до осі обертання:

.

Рис. 2.8

Моментом інерції тіла відносно осі називається величина що дорівнює сумі моментів інерції всіх точок тіла:

.

Для тіл довільної форми розрахунок такої суми досить складна математична задача і потребує застосування методів інтегрування, інколи моменти інерції тіл визначаються дослідним шляхом.

Уявимо, що два однакових тіла циліндричної форми набули обертального руху з кутовою швидкістю (рис. 2.9).

Вісь обертання першого тіла перпендикулярна осі циліндра, а вісь обертання другого тіла співпадає з віссю циліндра. При однаковому моменті тертя в підшипниках виявляється, що перше тіло до зупинки здійснює обертальний рух протягом більшого проміжку часу, тобто перше тіло має більшу інертність, ніж друге. Однак маса тіл т однакова і тому не може бути мірою інертності обертального руху.

Рис. 2.9

Інертність першого тіла характеризує момент інерції , а другого . Важливо звернути увагу, що при обертанні тіла відносно осі радіуси обертання окремих точок тіла значно більші, ніж коли тіло обертається відносно осі . Тому . Це означає, що при обертанні відносно осі тіло має більшу інертність.

Отже, момент інерції є фізичною величиною, що характеризує інертність тіла при обертальному русі. Він грає таку ж роль, що і маса при поступальному русі тіла. Будь-яке тіло незалежно від того, обертається воно чи знаходиться в спокої, має момент інерції відносно певної осі, подібно тому як у кожного тіла є маса незалежно від того, рухається воно чи знаходиться в спокої. Але якщо маса даного тіла в задачах класичної механіки вважається величиною сталою, то момент інерції даного тіла залежить від положення осі обертання.

Основний закон динаміки обертального руху

Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі записується у вигляді:

, (1)

де - момент сили відносно осі обертання, - момент інерції тіла відносно цієї осі, - кутове прискорення тіла.

Можна побачити аналогію між рівнянням (1) та рівнянням , яке виражає основний закон динаміки поступального руху. Силовий вплив при обертальному русі характеризує момент сили , інертнісь тіла характеризує момент інерції , результатом дії монета сили є кутове прискорення .

Дуже важливим є більш загальне рівняння основного закону динаміки поступального руху

,

Де – імпульс матеріальної точки , або тіла.

В динаміці обертального руху вводиться векторна фізична величина , яка називається момент імпульсу. Для симетричних тіл, які обертаються навколо осі симетрії , де –момент інерції тіла відносно осі обертання, а –кутова швидкість. Вектор співпадає за напрямком з вектором кутової швидкості . Він має такий самий фізичний зміст, як і імпульс тіла при поступальному русі, тобто характеризує «кількість» руху при обертанні.

Можна показати, що основний закон динаміки обертального руху у загальному випадку має наступний вигляд:

. (2)

Зміст цього закону полягає у наступному:

1. Якщо на тіло, що обертається, не діють моменти зовнішніх сил, або сумарний момент дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла не змінюється (дійсно, якщо , то , звідки ).

2. Якщо , то швидкість зміни моменту імпульсу дорівнює результуючому моменту зовнішніх сил.

Основний закон динаміки обертального руху (2) використовують при розв’язанні деяких складних задач механіки, коли тіло має одну закріплену точку, а вісь обертання може змінювати своє положення в просторі (наприклад в теорії гіроскопів). При цьому дуже важливо розуміти саме векторну природу величин моменту сили , кутової швидкості і моменту імпульсу . Детально з цими питаннями можна познайомитися в рекомендованій літературі [1,2].