Лабораторная работа № 2

Изучение методики расчета точечных оценок случайных величин

2.1 Цель работы

Овладение практическими навыками расчета оценок математического ожидания и дисперсии случайной величины.

2.2 Теоретическая часть

Измерение - нахождение физической величины опытным путем с помощью специальных технических средств. Главные признаки измерения:

- измерять можно свойства реально существующих объектов;

- измерение требует проведения опыта;

- для проведения опыта требуется наличие специальных технических средств, приводимых во взаимодействие с объектом;

- результатом измерения является значение физической величины, выраженное числом в принятых для этой величины единицах.

Погрешность измерения - разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины. Если истинное значение измеряемой величины неизвестно, то используют оценку этой случайной величины.

Погрешности классифицируют по следующим признакам:

- по причине возникновения;

- по закономерности проявления;

- по скорости изменения измеряемой величины.

Наиболее полной характеристикой случайной погрешности является функция ее распределения. Через нее может быть рассчитана вероятность пребывания случайной величины в заданных пределах. При расширении заданного интервала вероятность попадания туда значений увеличивается. Максимальное значение вероятности равно единице, это означает, что все значения попадают на заданный интервал. Функция распределения случайной величины – универсальный способ описания ее поведения, но очень трудоемкий. Поэтому часто случайную величину характеризуют с помощью ограниченного числа специальных величин, которые называются моментами.

Математическое ожидание - центральный момент первого порядка, приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения.

Дисперсия - центральный момент второго порядка. Дисперсия характеризует степень рассеяния значений случайной величины относительно его математического ожидания.

Оценка некоторого параметра а называется точечной, если она выражается одним числом. Поскольку количество наблюдений ограничено, при обработке результатов получают не истинное значение параметров, а их оценки. Оценка является случайной величиной. Т.к. оценка случайная величина, то она распределена по определенному закону, который зависит от закона распределения исходных величин, числа измерений и самого оцениваемого параметра.

Требование к оценкам:

- состоятельность (при увеличении числа измерений оценка должна приближаться к значению оцениваемого параметра);

- несмещенность (математическое ожидание оценки должно быть равно оцениваемому параметру);

- эффективность (дисперсия оценки должна быть меньше любой другой оценки данного параметра).

Виды оценок:

- байесовские оценки (используются, если задан закон распределения погрешности и измеряемой величины);

- оценки максимального правдоподобия (используется, если известен закон распределения погрешности, но нет сведений об измеряемой величине);

- робастные оценки (используются, если неизвестен закон распределения погрешности и нет данных об измеряемой величине).

Идентификация закона распределения - выбор закона распределения, в наибольшей мере соответствующего экспериментальным данным. Исходные данные для идентификации получают из гистограммы.

Построение гистограммы производится следующим путем:

- по результатам измерений определяют вариационный ряд, т.е. располагают результаты измерений в порядке возрастания;

- делят полученный интервал на m интервалов одинаковой протяженности d. Выбор интервалов одинаковой длины не всегда целесообразен;

- определяют число результатов, попавших в каждый интервал;

- по оси абсцисс откладывают границы интервалов и на каждом строят столбец, высота которого равна количеству попаданий в данный интервал;

- плавной линией соединяют середины вершин столбцов.

Далее для окончательного определения вида закона пользуются критерием согласия Пирсона.

С учетом точечных оценок результат измерения может быть записан в виде интервала x = X +  (где x - измеренное значение, X - оценка истинного значения,  - оценка СКО).