2. Обобщенные силы и перемещения

В предыдущем параграфе мы выяснили характер зависимости по всех напряжений и смещений. В таком случае удобно перейти к новым, обобщенным внутренним силам , исключающим из рассмотрения координату z, и сопоставить им соответствующие обобщенные смещения.

Приведение напряжений к обобщенным силам имеет смысл для нормальных сечений пластины, образуемых при рассечении ее цилиндрической поверхностью (в частности, плоскостью), перпендикулярной срединной плоскости. Условимся, при этом, линию пересечения такой цилиндрической поверхности и срединной плоскости называть контуром нормального сечения пластины.

Напомним, что всякая система плоских параллельных сил статически эквивалентна силе и моменту, причем величина последнего зависит от выбранной точки приведения сил. Воспользуемся этим фактом и путем интегрирования по толщине перейдем в нормальных сечениях пластины от напряжений к статически эквивалентным им погонным интегральным силовым факторам. При этом, конечно, надо фиксировать плоскость, к которой мы будем приводить напряжения. В качестве таковой удобно (хотя и не обязательно) принять срединную плоскость пластины.

Рассмотрим плоские нормальные сечения пластины, параллельные координатным плоскостям и . На них возникают напряжения (1.9), (1.12), (1.13). Интегрируя по толщине пластины выражения (1.9), приходим к нулевым погонным тангенциальным усилиям

(2.1)

Они отличны от нуля в плоском напряженном состоянии.

Проинтегрируем те же выражения по толщине пластины, умножив их предварительно на координату . В результате приходим к погонным изгибающим моментам

(2.2)

и крутящему моменту

(2.3)

Интегрируя, далее, по толщине пластины выражения (1.12), (1.13), получим погонные перерезывающие силы

(2.4)

Выражения (2.2), (2.3) относятся к физическим соотношениям теории изгиба пластин, чего нельзя сказать о выражениях (2.4), порожденные через поперечные касательные напряжения статическими уравнениями.

Не представляет теперь труда выразить напряжения через введенные выше обобщенные силы. Сравнивая (1.9), (1.12), (1.13) с (2.2)-(2.4), находим

(2.5)

Таким образом, при анализе напряженного состояния пластины вместо напряжений (2.5) можно изучать связанные с ними прямыми зависимостями обобщенные силы (2.2)-(2.4). Они являются, по существу, равнодействующими соответствующих напряжений, собранных в нормальных координатных сечениях с толщины пластины и снесенных статически эквивалентным образом на ее срединную плоскость. Это иллюстрируется на рис. 2.1, где вверху изображен соответствующий фрагмент пластины, на нормальных сечениях которой показаны действующих там напряжений, а внизу — фрагмент срединной плоскости с прямыми контурами координатных нормальных сечений, на которых показаны положительно направленные обобщенные силы.

Уравнения равновесия пластины в обобщенных силах можно получить из рассмотрения равновесия бесконечно малого элемента срединной плоскости пластины. Такой элемент изображен на рис. 2.2, где показаны и действующие на него силы и моменты. Символами и обозначены приращения величин за счет изменения координат и на и соответственно.

С разу же отметим, что три из шести уравнений равновесия такого элемента, а именно, сумма всех сил на оси и и моментов вокруг оси , дают тривиальные тождества . Они приобретают не тривиальный вид в плоском напряженном состоянии.

Приравнивая нулю сумму проекций на ось всех приложенных к элементу сил, найдем

Поделим полученное уравнение на , сокращая предварительно подобные члены, и перейдем к пределу при и (бесконечно малый элемент срединной поверхности стягиваем в точку). Вспоминая определение частной производной, приходим к уравнению

(2.6)

Расписывая подобным образом уравнения моментов действующих на элемент срединной плоскости пластины сил относительно его правой и ближней горизонтальной кромок, параллельных соответственно осям и , устанавливаем еще два уравнения равновесия

(2.7)

которые, как не трудно убедиться, после подстановки в них зависимостей (2.2)-(2.4) обращаются в тождества вида . Подстановка же формул (2.4) в равенство (2.6) приводит к уравнению Софи Жермен (1.15).

Обратимся теперь к выяснению смысла обобщенных перемещений. Рассмотрим сначала нормальное сечение пластины , параллельное плоскости . Согласно гипотезе Кирхгоффа смещения точек этого сечения равны

(2.8)

Будем считать заданным прогибы точек контура сечения. В таком случае можно найти и величину . Для полного описания смещений всех точек сечения достаточно задать еще одну величину — . Аналогичные рассуждения показывают, что смещения точек нормального сечения полностью характеризуются двумя величинами и :

(2.9)

Итак, в теории пластин роль обобщенных играют смещения точек срединной плоскости и угол поворота нормального сечения вокруг касательной его контура.

С опоставим теперь введенные выше обобщенные силы и перемещения. Если, например, рассматривать нормальное сечение , то первое, что бросается в глаза, так это количественное несовпадение обобщенных смещений и обобщенных сил. Обобщенных смещений — два ( , ), а обобщенных сил — три ( , , ). Обобщенным силам , отвечают, очевидно, обобщенные смещения , соответственно. Что же касается крутящего момента , то ему следовало бы сопоставить величину , которая, как было показано выше, не является независимым обобщенным смещением. Поэтому напрашивается вывод о том, что и крутящий момент не может играть роль независимой обобщенной силы и должен сводиться к одной из названных выше сил. Покажем, что он приводится статически эквивалентным образом к дополнительной перерезывающей силе. Оправданием для такого приведения является поперечная недеформируемость нормальных сечений пластины в своей плоскости и, как следствие, возможность замены одних действующих в ней сил другими, статически эквивалентными первым.

Разобьем контур сечения на бесконечно малые участки и соберем в пределах каждого такого участка суммарный крутящий момент. Это наглядно показано на рис. 2.3 а для двух участков в окрестности точки с координатой . Там же изображены действующие на них суммарные крутящие моменты. Заменим последние парами вертикальных сил с плечами, равными длинам участков (рис. 2.3 6). В результате приходим к выводу, что на участок в окрестности точки , являющейся средней его точкой, действует указанная на рис .2.3 в поперечная сила. Ее погонная мера определяется обычным образом:

(участок стягивается в точку ). Это и есть дополнительная перерезывающая сила от крутящего момента.

Теперь мы вправе сказать, что в нормальном сечении имеется ровно две обобщенные силы, а именно, изгибающий момент и обобщенная перерезывающая сила

(2.10)

Совершенно аналогично показывается, что в сечении возникают изгибающий момент и обобщенная перерезывающая сила

,

(2.11)

которым отвечают соответственно обобщенные смещения и .

В силу (2.3), (2.4)

(2.12)