Примеры решения задач.

Задача 1. Симплексный метод. Торговое предприятие реализует 2 группы товаров: А и В. Нормы затрат ресурсов на каждый тип товаров, лимиты ресурсов, а также доход на единицу каждой продукции заданы в таблице. Определить плановый объем продаж и структуру товарооборота так, чтобы доход торгового предприятия был максимален.

Виды ресурсов	Норма затрат ресурсов на 1 ед. товара		Лимит ресурсов
	Товары группы А	Товары группы В
Рабочее время продавцов, чел.-час	0,2	3	24
Площадь торговых залов, м2	0,5	0,1	5
Площадь складских помещений, м2	3	1	32
Накладные расходы, руб.	5	4	75
Доход на ед. продукции, руб.	4	3

РЕШЕНИЕ:

I Построим экономико-математическую модель задачи:

1. Переменные – ресурсы, ед.

1. х₁ – товары группы А, ед.

2. х₂ – товары групп В, ед.

2. Ограничения:

   1. По использованию рабочего времени, Чел.-ч.: 0,2х₁+3х₂ 24

   2. По имеющейся площади торговых залов, кв.м..: 0,5х₁+0,1х₂ 5

   3. По имеющейся площади складских помещений, кв. м.: 3х₁+х₂ 32

   4. По накладным расходам, руб.: 5х₁+4х₂ 75

3. Критерий оптимальности – максимальный доход торгового предприятия.

Целевая функция: Z=4х₁+3х₂ → max

4. Условие неотрицательности:

хj 0, j=1,2

II Приведем задачу к каноническому виду:

Решим ее симплексным методом аналитически.

Составляем симплексную таблицу. Перечислим по столбцам содержание таблицы:

Базис – содержит перечень базисных переменных;

С – значения коэффициентов базисных переменных в целевой функции;

План – значения базисных переменных

x₁ – x₆ – коэффициенты переменных в системе ограничений.

На первоначальном этапе в базис входят все фиктивные переменные. Тогда, учитывая, что x₁ = x₂ =0, из системы ограничений находим значения базисных переменных, заносим их в столбец План. Заполняем столбцы С и x₁, x₂ , x₃ , x₄ , x₅ , x₆. В последней строке выпишем значения - на первом этапе это значения коэффициентов целевой функции, взятые с противоположным знаком.

Очевидно, что если базис состоит только из фиктивных переменных, то значение целевой функции равно нулю. Будем последовательно улучшать опорный план, на каждом шаге вводя в базис новую переменную, и выводя из него одну базисную переменную. Процесс решения задачи закончится тогда, когда среди чисел не останется отрицательных.

Поскольку в первой таблице , то вводиться в базис будет переменная x₁. Столбец, соответствующий переменной x₁, будем называть разрешающим, обозначим его номер . Рассчитаем значения столбца по формуле:

, где - номер строки, - значение базисной переменной, соответствующей -той строке, - значение в ячейке таблицы, находящейся на пересечении -той строки с разрешающим столбцом.

Выбираем среди чисел столбца минимальное положительное число. Строку, в которой это число находится, условимся называть разрешающей, а элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки – разрешающим элементом. Обозначим номер разрешающей строки . В нашем случае разрешающей строкой является строка, соответствующая переменной x₄, следовательно, эта переменная выходит из базиса.

Переход к новой симплексной таблице осуществляется по следующему алгоритму:

1. элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент: , .

2. все остальные элементы таблицы (кроме столбцов С и ), пересчитываем по формуле: , . Здесь подразумевается, что столбец с номером 0 – это столбец значений базисных переменных.

Получим новую таблицу. Значение целевой функции рассчитывается как сумма произведений значений базисных переменных на их коэффициенты, т.е. сумма произведений соответствующих элементов столбцов БП и С.

Продолжая аналогично, получим решение задачи.

1 симплексная таблица
Базис	С	План	4	3	0	0	0	0	Q
			x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	0	24	0,2	3	1	0	0	0	120
x4	0	5	0,5	0,1	0	1	0	0	10
x5	0	32	3	1	0	0	1	0	10.67
x6	0	75	5	4	0	0	0	1	15
		0	-4	-3	0	0	0	0
2 симплексная таблица
Базис	С	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Q
x3	0	22	0	2,96	1	-0,4	0	0	-55
x1	4	10	1	0,2	0	2	0	0	5
x5	0	2	0	0,4	0	-6	1	0	5
x6	0	25	0	3	0	-10	0	1	8.33
		40	0	-2,2	0	8	0	0
3 симплексная таблица
Базис	С	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Q
x3	0	7,2	0	0	1	44	-7,4	0	0.164
x1	4	9	1	0	0	5	-0,5	0	1.8
x2	3	5	0	1	0	-15	2,5	0	-0.33
x6	0	10	0	0	0	35	-7,5	1	0.29
		51	0	0	0	-25	5,5	0
4 симплексная таблица
Базис	С	БП	x1	x2	x3	x4	x5	x6	Q
x4	0	0,16	0	0	0,23	1	-0,17	0	-
x1	4	8,18	1	0	-0,11	0	0,34	0	-
x2	3	7,45	0	1	0,34	0	-0,02	0	-
x6	0	4,27	0	0	-0,79	0	-1,61	1	-
		55,09	0	0	0,57	0	1,29	0

Итак, для получения максимального дохода торгового предприятия равной 55,09 руб., необходимо реализовать: товара группы А – 8,18 ед., группы В – 7,45. Дополнительные переменные х3, х4, х5, х6 показывают разницу между запасами ресурсов каждого вида и их потреблением. При оптимальном плане реализации продукции х4 = х6 = 0, т.е. остатки ресурсов площади торговых залов и накладных расходов равны нулю, а остатки рабочего времени продавцов и площади складских помещений равны соответственно 0,57чел.-ч. и 1,29 кв.м.