§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
Опр
Последовательность комплексных чисел
,
обладающая свойством
,
называется оригиналом.
Опр
Изображением
(Z-преобразованием)оригинала
называется функция
ЗАМЕЧАНИЕ
Изображение является аналитической
функцией с центром в бесконечно удаленной
точке
.
Обозначение
или
.
Пр
1 Единичный импульс
(дельта-импульс
Кронекера)
имеет Z
-преобразование
.
Пр
2 Пусть
.
Тогда
.
Пр
3 Найдем
оригинал по изображению
.
.
ТЕОРЕМА 10.11 (свойства Z- преобразования)
1)
Множество
оригиналов
и множество аналитических в точке
функций
являются векторными пространствами, а Z-преобразование является их изоморфизмом.
2)
(связь с
преобразованием Лапласа) Если по
оригиналу
построить
ступенчатую функцию
,
то изображение последней по Лапласу и
Z-преобразование
связаны равенством
.
3)
(теорема
опережения (смещения))
.
4)
(дифференцирование
изображений)
5)
(свертка
оригиналов)
6)
(сложная свертка)
.
7)
(формула
обращения)
,
где
- спрямляемый жорданов контур, охватывающий
бесконечно удаленную точку;
,
если
есть рациональная функция с полюсами
.
8)
(масштабирование частоты)
.
Пр
Найдем оригинал по изображению
,
где
.
.
Опр
Система
уравнений
(1)
где
,
,
называется линейным
разностным уравнением n-го
порядка с постоянными коэффициентами.
Опр
Пусть даны числа
.
Решением
разностного уравнения (1)
с начальными данными
называется
последовательность чисел
которая удовлетворяет всем уравнениям
(1) и начальным условиям
.
Опр
Разностное
уравнение (1) называется асимптотически
устойчивым, если
при любых начальных условиях
соответствующее решение
однородного уравнения стремится к
нулю:
.
ТЕОРЕМА 10.12 (свойства решений разностного уравнения)
1)
Для любой
-ки
чисел
решение
задачи Коши для однородного разностно
го уравнения с начальными условиями
существует
и единственно
2)
Пусть
есть нули кратностей соответственно
характеристического
многочлена
.
Тогда общее решение однородного
уравнения имеет вид
.
Рассмотрим разностное уравнение вида
,
(2)
с
начальными условиями
,
где
-
известный оригинал, а
-
искомое решение. Обозначим
,
,
.
Тогда:
3)
решение однородного уравнения с
заданными начальными условиями
единственно и равно
;
4)
решение неоднородного уравнения с
нулевыми начальными условиями равно
,
а его решение с исходными начальными
условиями равно
;
5)
Разностное уравнение
(1)
асимптотически
устойчиво тогда и только тогда, когда
нули его характеристического многочлена
по модулю меньше 1.
Пр 1 Решим разностное уравнение третьего порядка
где
.
Так
как
,
,
то по последней теореме 10.12.4
.
Это есть искомое решение разностного уравнения с заданными начальными условиями.
Пр
2 Разностное
уравнение
является асимптотически устойчивым,
так как корни его характеристического
уравнения
лежат в единичном круге.
_____
Опр
Пусть функции
определены на
.
Нормальной
системой разностных уравнений
(НСРУ) называется система вида
.
Или в матрич ном виде
.
Нормальной
системой линейных разностных уравнений
(НСЛРУ) называется система вида
Или
в матричном виде
.
Если матрица
не зависит от
,
последняя называется системой с постоянными коэффициентами.