§ 10.5 Изменение аргумента функции вдоль кривой. Годографы.

Опр Пусть функция аналитическая на кривой и . Это обеспечивает непрерывность аргумента функции на кривой. Произведем разбиение отрезка , и по функции и разбиению образуем интегральную сумму . Можно доказать, что существует конечный предел ,. Его называют изменением аргумента функции вдоль кривой .

ТЕРЕМА 10.7 1) .

2) Пусть кривая разбита на два куска: . Тогда .

3) . 4) (принцип аргумента) Пусть функция непрерывна на

и аналитическая внутри замкнутой спрямляемой жордановой кривой за

исключением конечного числа полюсов. Пусть . Тогда, если - нули в с кратностями соответственно , - ее полюсы в порядков , то , где , .

ЗАМЕЧАНИЕ В Matlab многочлен задается массивом коэффициентов в виде . Операция нахождения нулей этого многочлена задается функцией roots(a).

_____

Опр Пусть функция аналитическая на кривой . Годографом функции относительно этой кривой называется ее образ .

ЗАМЕЧАНИЕ (геометрический смысл изменения аргумента функции вдоль кривой) Изменения аргумента функции вдоль кривой, деленный на , совпадает с числом оборотов точки вокруг начала координат при ее движении по годографу ).

Пр 1 Найдем число корней алгебраического уравнения в правой полуплоскости.

1) На мнимой оси . Так как последняя система не имеет решений, то не имеет нулей на мнимой оси.

2) Все нули из правой полуплоскости содержатся внутри полукруга с границей и с достаточно большим радиусом . По предыдущей теореме искомое число нулей равно . Поэтому .

3) Найдем число оборотов годографа вокруг начала координат, для чего понадобится его изображение. Из параметрического задания следует однозначность функции на и симметричность графика относительно оси .

Имеем одну точку пересечения с осью и две точки - с осью

При больших значениях параметра точки графика находятся в четвертой и первой четвертях. Поэтому график схематично имеет вид

Учитывая, что , получаем . Отсюда .

Пр 2 Найдем угол, на который годограф функции относительно мнимой оси охватывает точку . Имеем - гипербола с центром в точке и равными полуосями. Так как функция имеет полюсы в точках мнимой оси, то гипербола разбивается на три куска: левая верхняя полуветвь , правая ветвь и левая нижняя полуветвь соответственно при , . Так как , то

.

ЗАМЕЧАНИЕ Рациональная функция задается в Matlab с помощью функции tf(p,q). Годограф рациональной функции относительно мнимой оси строится с помощью nyquist.

Пр Следующая последовательность команд позволяет построить годограф из примера 1. >> num=[1 -2 1 0 -1]; den=[1]; sys=tf(num,den); nyquist(sys)

Здесь один и тот же годограф изображен в разных масштабах

_____

Определение Пусть коэффициенты многочлена зависят от параметров . Так как каждой допустимой -ке сопоставляется корней алгебраического уравнения , то имеем неявное отображение из множества в пространство . Известно, что если коэффициенты многочлена непрерывно зависят от параметров, то при непрерывном изменении точки соответствующая -ка корней непрерывно изменяется. Тем самым это отображение непрерывно и порождается непрерывными координатными функциями . Задаваемое ими -мерное многообразие в называется корневым годографом многочлена.

Рассмотрим специальный случай при в той форме. которая имеет многочисленные применения в теории управления при изучении устойчивости и синтезе систем управления.

Определение Пусть - задаваемая несократимой дробью рациональная функция степени и относительной степени . Рассмотрим уравнение

(1)

с параметром . Оно порождает алгебраическое уравнение степени . При непрерывном изменении от до его корни в количестве штук непрерывно изменяются, двигаясь по кривым (траекториям) в комплексной плоскости. Совокупность этих траекторий называется корневым годографом уравнения (1).

Пример Изобразить корневой годограф для пары многочленов .

◄ Так как , годограф состоит из трех траекторий. Так как алгебраическое уравнение имеет третью степень, то траектории начинаются в точках (корнях уравнения при ) , .

а) тогда и только тогда, когда все корни удаляются по своим траекториям к . Поэтому . Отсюда получаем направления , в которых распространяются траектории с ростом .

б) Так как коэффициенты уравнения вещественны, то две траектории зеркально симметричны относительно мнимой оси, а по формулы Виета для свободного члена следует, что третья траектория лежит на отрицательной части вещественной оси.

в) Если есть точка пересечения траекторий с мнимой осью, то подставляя ее в уравнение, имеем . Приравнивая нулю вещественную и мнимую части, получаем при и при . ►

Более точную информацию о поведении корневого годографа дает

ТЕОРЕМА 10.8 (качественные свойства корневого годографа)

1) Точка принадлежит корневому годографу тогда и только тогда, когда , при этом соответствующее .

2) Пусть . Тогда:

2а) при близком к соответствующих точек годографа расположены вблизи полюсов функции .

2б) при точек годографа стремятся к соответствующим асимптотам, выходящим из точек и образующих углы , с положительным направлением вещественной оси. Остальные точек годографа приближаются к нулям функции .

3) Если , то все траектории годографа начинаются в полюсах функции и оканчиваются в ее нулях .

4) Пусть . Тогда:

4а) при точек годографа стремятся к соответствующим асимптотам, выходящим из точек и образующих углы с положитель ным направлением вещественной оси. Остальные точек годографа приближаются к полюсам .

4б) при соответствующих точек годографа стремятся к соответствующим нулям .

5) Для нахождения точек пересечения корневого годографа с мнимой осью необходи мо приравнять нулю линейный по остаток от отделения многочлена на .

6) Точки вещественной оси, принадлежащие корневому годографу, лежит левее нечетного числа нулей и полюсов функции .

Пример (продолжение) В предыдущем примере , . Поэтому на основании пункта 2 теоремы имеем такое свойство годографа.

г) Асимптоты представляют собой три луча, начинающиеся в точке и направленные под углами к вещественной оси.

д) Функция не имеет нулей, имеет один полюс в нуле и два комплексно сопряжены полюса . Поэтому на основании пункта 6 теоремы точки вещественной оси, принадлежащие корневому годографу, должны лежать левее точки .

ЗАМЕЧАНИЕ В Matlab годограф строится с помощью функции rlocus.

Пр Следующая последовательность команд позволяет построить корневой годограф из последнего примера. >> p=[1]; q=[1 1 2 0]; sys=tf(p,q); rlocus(sys)