
- •Глава 10 теория функций комплексного переменного
- •§ 10.1 Комплексные числа. Топология расширенной комплексной плоскости.
- •§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
- •§ 10.3 Интегрирование аналитических функций
- •§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
- •§ 10.5 Изменение аргумента функции вдоль кривой. Годографы.
- •§ 10.6 Преобразование Лапласа
- •§ 10.7 Z- преобразование и разностные уравнения
- •§ 10.8 Обобщенные функции и преобразование Лапласа
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.1 Элементы теории графов
- •§12.2 Графы электрических цепей
- •Глава 15 случайные функции
- •Глава 16 вариационное исчисление
- •§ 16.1 Вариация функционала
- •§ 1.2 Задачи на безусловный экстремум
- •§ 16.3 Задачи на условный экстремум
- •В опросы ко второму блоку
- •Типовые задачи к экзамену
- •Литература
§ 10.3 Интегрирование аналитических функций
Определение
(Коши, 1825)
Пусть
есть кусочно гладкая кривая в области
,
и
- непрерывная функция комплексного
переменного. Разобьем кривую точками
,
выберем точки
.
Образуем интегральную сумму
,где
.
Обозначим
диаметр разбиения кривой
.
Интегралом
от ФКП
на кривой
l
называется
конечный предел
.
ТЕОРЕМА 10.4 (свойства интеграла)
1) Если ФКП непрерывна в односвязной области , то равносильны утверждения:
а)
голоморфна в
;
б) для любой спрямляемой кривой
интеграл
зависит
только
от ее концов; в) для любого замкнутого
спрямляемого контура
.
2)
(теорема Коши для сложного контура)
Пусть граница
-связной
области
состоит из внешней
и
штук внутренних
кусочно гладких замкнутых жордановых
кривых. Обход каждой из кривых выбран
так, чтобы область
оставалась слева. Если
аналитическая на
,
то
.
3)
(формула Коши) Если
аналитическая в точке
,
то
.
Пр
.
При
ЗАМЕЧАНИЕ (способы вычисления интегралов от ФКП)
1)
,
то есть с помощью КИВР.
2)
Если
- кусочно гладкая кривая, то
,
то есть с помощью интеграла от КЗФ.
3)
Если
голоморфна в односвязной области
и
-
первообразная этой функции, то
,
то есть с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
§ 10.4 Ряды с комплексными членами. Полюс. Вычеты
Опр
Ряд по
степеням
называется
сходящимся
на множестве
,
если
сходятся ряды
.
В противном случае ряд называется
расходящимся.
ТЕОРЕМА 10.5 (свойства функциональных рядов)
1)
Если существует
или
,
то степенной ряд
равномерно сходится внутри круга
и расходится в каждой точке вне его
замыкания
;
круг
называется кругом
сходимости,
а число
-
радиусом
сходимости степенного ряда.
Сумма степенного ряда является
аналитической функцией в круге
сходимости.
2)
Пусть функция
голоморфна на окружности
.
Положим
.
Пусть
существуют пределы
.
Тогда ряд по степеням
( ряд
Лорана
функции
)
сходится к
равномерно внутри кольца
,
и имеет на каждой компоненте его границы
особые точки.
Пр
1 Целая
функция
разлагается в ряд Маклорена
во
всей комплексной плоскости.
Пр
2
.
_____
Опр
Особая точка
аналитической функции
называется изолированной
особой точкой однозначного характера
(ИОТОХ),
если
аналитична в некоторой проколотой
окрестности
.
Опр
ИОТОХ
называется
полюсом
функции
,
если
.
Полюс
называется полюсом
порядка
,
если существует конечный и не равный
нулю предел
.
Полюс первого порядка называется
простым.
Пр
Функция
,
имеет полюс порядка
в точке
.
ЗАМЕЧАНИЕ
Пусть
функция
имеет ИОТОХ в
.
является полюсом тогда и только тогда,
когда главная часть ряда Лорана имеет
конечное число членов.
_____
Опр
Пусть
- ИОТОХ функции
.
Вычетом
этой функции в точке
называется число
,
где
- замкнутая спрямляемая жорданова
кривая, охватывающая
,
причем ее внутренность
должна оставаться слева при обходе
точки
по контуру
.
ЗАМЕЧАНИЕ В силу теоремы Коши 10.4.2 вычет не зависит от выбора .
Опр
Пусть КЗФ
непрерывна на
.
Если существует конечный предел
,
то он называется интегралом
в смысле главного значении.
ТЕОРЕМА 10.6 (свойства вычетов)
1)
Если
,
то
.
Если
,
то
.
2)
(основная теорема о вычетах) Если
аналитическая в односвязной области
за исключением ИОТОХов
,
-
спрямляемая замкнутая жорданова кривая
в
,
охватывающая
,
то
.
3)
Пусть у рациональной функции
и
не имеет нулей на прямой
.
Тогда
,
-
нули
,
лежащие в соответствующей полуплоскости.
4)
Если
- полюс порядка
функции
,
то
.
5)
Пусть
в окрестности
,
функции
аналитична в
,
и
имеет
простой нуль в точке
.
Тогда точка
является простым полюсом функции
и
.
Пр
1 Вычислим
интеграл
.
Так как подынтегральная функция имеет
простой полюс в точке
и полюс второго порядка в точке
внутри контура интегрирования, то по
основной
теореме о вычетах
и пунктам 4, 5 теоремы имеем
.
Пр
2 Вычислим
интеграл
,
который является обратным
преобразованием
Фурье функции
(смотри §8.3).
При
по пункту 3
теоремы имеем
.
При
.
В
целом,
.