§ 10.2 Аналитические и их физический смысл.
Опр
(Коши,1821) Пусть
.
Отображение
называется функцией
комплексного переменного
(ФКП).
Опр
Пусть
-
предельная точка множества
.
Число
называется пределом
функции
в точке
,
если
.
Пусть
- предель ная точка множества
и
.
Функция
называется непрерывной
в точке
,
если
.
ЗАМЕЧАНИЕ
Пусть функция
определена в окрестности точки
и принимает
значения в
.
Тогда она непрерывна в точке
,
если и только если отображение
непрерывно в точке
.
Пр
ФКП
непрерывна в области
,
так как
непрерывна как функция двух вещественных
переменных.
ТЕРЕМА
10.2 (критерий
дифференцируемости ФКП в точке) Пусть
функция комплексного переменного
определена в окрестности точки
.
Тогда равносильны утверждения:
1)
дифференцируема в точке
;
2)
отображение
дифференцируемо в точке
,
удовлетворяет в ней уравнениям
Коши-Римана:
,
.
ЗАМЕЧАНИЕ
Уравнения
Коши-Римана в полярной системе координат
имеют вид
.
СЛЕДСТВИЕ
Если
дифференцируема в точке
,
то ее производную можно вычислять по
формуле
.
____
Опр
;
(Эйлер,
1749,1762);
;
.
Опр Функция комплексного переменного называется целой, если она дифференцируема в каждой точке плоскости .
ТЕОРЕМА
10. 3 1) Функция
целая
-периодическая
и не имеет нулей в плоскости
.
2)
Функции
целые
-периодические
и
.
3
)
Функция
дифференцируема в каждой точке из
кроме точек
;
функция
дифференцируема
в каждой точке из
кроме точек
;
4)
Функция
дифференцируема в каждой точке плоскости
с разрезом
и является обратной к функции
в полосе
;
5)
Функция
,
является дифференцируемой в плоскости
с разрезом
;
6)
Функция
целая и не имеет нулей в
.
Пр
1
.
Пр 2
.
____
Опр
Функция комплексного переменного
называется аналитической
в точке
,
если она дифференцируема в каждой точке
некоторой
-окрестности
.
Точка, в которой
не аналитическая, называется особой
точкой
функции.
Пр
аналитическая в любой точке
кроме
.
Опр
Функция
называется аналитической
(голоморфной)
в области
,
если она аналитична в каждой точке этой
области.
ЗАМЕЧАНИЕ
От греч.
-
целый +
- форма. Термин ввели Брио и Буке (середина
ХIХ
века). Термин «аналитическая функция»
- Кондорсе.
Опр
(Коши).
Функция
называется аналитической
(голоморфной)
на замкнутом множестве
,
если она аналитична в некоторой области,
содержащей
.
ЗАМЕЧАНИЕ
(физический
смысл аналитической функции) Пусть в
материальной односвязной плоской
области
известна напряженность электростатического
поля
,
порождаемого зарядами, сосредоточенными
на границе
.
Тогда
существует
аналитическая в
функция
,
которая называется комплексным
потенциалом электростатического поля,
и которая
обладает свойствами:
1)
;
2) линии уровня
совпадают с силовыми линиями этого
поля; 3) линии уровня
совпадают с эквипотенциальными
линиями поля.