§ 16.3 Задачи на условный экстремум
Опр
Изопериметрической
задачей
(на условный экстремум) называется
задача нахождения среди непрерывно
дифференцируемых на
функций
с условиями
где
-заданное число, на которой достигается
экстремум
.
Пример
(задача Дидоны) Найти кривую в верхней
полуплоскости, соединяющую точки с
координатами
,
имеющую заданную длину
,
которая бы вместе с отрезком
оси
охватывала фигуру наибольшей площади.
Здесь в качестве функционала
естественно взять периметр фигуры
(постоянное слагаемое
опускаем), а в качестве функционала
- площадь фигуры
.
ТЕОРЕМА
16.5 Пусть
функция
имеет непрерывные частные производ
ные до второго порядка включительно
.
Если на допустимой функции
достига ется экстремум функционала
и не достигается экстремум функционала
,
то
является экстремалью функционала
,
то
есть
.
Пример
Предполагаем для простоты, что экстремаль
задается уравнением
.
Тогда
.
То
есть экстремальная кривая необходимо
является дугой окружности с хордой
длины
.
_____
Опр
Задачей
Лагранжа
(- на условный экстремум) называется
задача нахождения непрерыв но
дифференцируемых на
функций
,
удовлетворяющих граничным условиям
,
голономным
(геометрическим)
связям
,
и
на которых достигается экстремум
функционала
.
ТЕОРЕМА
16.6 Пусть
функция
имеет непрерывные частные производные
до второго порядка включительно(по
),
функции
- непрерывно дифференцируемые частные
производные и
.
Если экстремум функционала
достигается на непрерывно дифференцируемых
функциях
,
удовлетворяющих граничным условиям
,
,
и
голономным связям, то существуют такие
функции
(- множители
Лагранжа),
что функция
Лагранжа
удовлетворяет системе уравнений Эйлера
.
Без доказательства.
ЗАМЕЧАНИЕ
Аналогичная
теорема имеет место, если связи
неголономные
(дифференциальные)
.
Пример
Объект
управления описывается дифференциальным
уравнением
с
краевыми
условиями
.
Требуется синтезировать автоматический
регулятор, оптимальный по минимуму квадратичного критерия качества:
.
Имеем
задачу Лагранжа с одной неголономной
связью
и
функцией Лагранжа
.
Система уравнений Эйлера для искомых
экстремалей
имеет вид
.
Исключаем
из нее множитель Лагранжа и объединяем
полученное уравнение с уравнением
связи
.
Корни ее характеристического уравнения
равны
.
Подставляя в общее решение
граничные условия, получаем экстремаль
.
Вторую экстремаль получаем, подставляя
первую в уравнение объекта управления
.
Вопросы к первому блоку, 2011-2012 уч. год, УУ-21,22
1. Опр. комплексной плоскости. 2. Опр. модуля, сопряженного числа, главного значения аргумента.
3
.
Опр. тригонометрической, показательной
форм комплексного числа. 3. Опр.
произведения, част ного комплексных
чисел, корня n-ой степени
4. Опр. граничной точки, границы и
замыкания. Пр. 5. Опр. несвязного
множества, области, n-связной
области. Пр. 6. Опр. непрерывной
ФКП. Пр.
.
7.
Опр. функции
и их свойства. 8. Опр. функций
,
и
их свойства. 9. Опр. функций
и их свойства. 10. Опр. функции,
аналитической в точке, на замкнутом
множестве и в области. 11. Опр.
интеграла ФКП по кривой и способы его
вычисления. 12. Т. Коши для сложного
контура и формула Коши. Пр. 13. Опр.
ИОТОХ и полюса. Пр. 14. Опр. ряда по
степеням и ряда Лорана функции. Гл. и
правильная части. 15. Опр. вычета и
его свойства. Пр. 16. Опр. годографа
функции и корневого годографа. 17.
Опр. оригинала и показателя роста. Пр.
18. Опр. изображения, преобразования
Лапласа и свертки функций. 19. Опр.
функции Хевисайда и гамма-функции. Пр.
20. Опр. оригинала, изображения и
Z-преобразования. Пр. 21.
Опр. линейного разностного уравнения
и свойства его решений. Пр.