Глава 10 теория функций комплексного переменного

§ 10.1 Комплексные числа. Топология расширенной комплексной плоскости.

Опр Мнимой единицей называется символ . Комплексным числом (в алгебраической форме) называется выражение вида .

ЗАМЕЧ Эйлер обозначал мнимую единицу . Обозначение предложил Гаусс. Понятие комплексного числа появилось у Кардано (1545), а термин ввел Карно (1803). Теория комплексных чисел развита Гауссом (1831).

Опр (Вессель, 1799, Арган, 1806) Каждой точке с радиусом-вектором евклидовой плоскости (Рис.10.1) с ПДСК сопоставим комплексное число . Тем самым устанавливаем взаимно однозначное соответствие между векторами и множеством комплексных чисел . Ось абсцисс назовем вещественной осью и обозначим . Ось ординат - мнимой осью и обозначим . Единицей измерения на последней будет . Совокупность точек и так переименованных осей называется комплексной плоскостью (Рис.10.2), которую будем обозначать той же буквой .

Опр Для число называется вещественной частью, а число - коэффициентом мнимой части комплексного числа .

Опр Суммой (разностью) комплексных чисел , называется комплексное число .

Опр (Бомбелли, 1572) Произведением комплексных чисел , называется комплексное число .

Опр (Коши, 1831) Комплексное число называется сопряженным к комплексному числу . Пример .

Опр (Арган, 1814) Модулем комплексного числа называется число .

ЗАМЕЧ , то есть модуль разности комплексных чисел совпа дает с расстоянием между соответствующими точками комплексной плоскости .

Опр Частным от деления комплексных чисел , называется комплексное число .

Опр (Коши,1847) Главным значением аргумента комплексного числа называется величина угла между положительным направлением вещественной оси и направлением на точку , отсчитываемого против часовой стрелки.(лат. argumentum – знак).

ЗАМЕЧ Функция , определена на , и определяет бесконечнозначную функцию .

Опр Если то выражение

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Обозначение - формула Эйлера (1740).

Опр - показательная форма комплексного числа.

ТЕОРЕМА 10.1 Пусть . Тогда:

1) ; 2) ;

3) алгебраическое уравнение имеет ровно комплексных корней, которые вычис ляются по формуле , где .

Опр Для комплексного числа .

СЛЕДСТВИЕ Для комплексных чисел .

ЗАМЕЧАНИЕ (электротехнический смысл комплексного числа) Если переменные напряжение или ток в цепи изменяются по гармоническому закону: , где - амплитуда колебаний, - угловая частота, - начальная фаза, то комплексной амплитудой колебаний называется комплексное число .

Пример Комплексная амплитуда линейной комбинации гармонических колебаний и с одинаковой частотой равна линейной комбинации комплексных амплитуд: .

_____

Опр Добавим к комплексной плоскости одну “бесконечно удаленную точку” . Полученное множество называется расширенной комплексной плоскостью (сферой Римана) и обозначается . -окрестностью конечной точки называется круг . -окрестностью бесконечно удаленной точки называется множество . При таком определении очевидно -окрестность стягивается к своему центру, когда .

З АМЕЧАНИЕ Построим в с ПДСК сферу . Сопоставим каждой точке комплексной плоскости , отождествляемой с , точку пересечения сферы с отрезком, соединяющим «южный полюс» и (Рис.10.3). Точке сопоставим . Это соответствие называется стереографической проекцией, и устанавливает гомеоморфизм между точками нашей сферы и сферой Римана , что и объясняет название последней. Когда переменная точка на сфере приближается к “южному полюсу”, соответствующая ей стереографическая проекция на плоскости приближается к точке . Тем самым удобно представлять в виде сферы сколь угодно большого радиуса, северный полюс которой совпадает с началом координат, а южный – с бесконечно удаленной точкой.

_____

Опр Пусть комплекснозначная функция (КЗФ) определена в окрестности точки и принимает значения в . Говорят, что имеет предел при , если

.

Пр (электротехнический смысл КЗФ) Комплексные сопротивления емкости , комплексные сопротивления индуктивности и входное сопротивление двухполюсника являются комплекснозначными функциями от частоты .

Опр Комлекснозначная функция (КЗФ) называется непрерывной в точке , если .

____

ЗАМЕЧАНИЕ Пусть дана непрерывная КЗФ . Как и в случае евклидовой плоскости определяются кривые замкнутая, спрямляя емая и гладкая кривые. В последнем случае условие

равносильно существованию касательной в каждой точке этой кривой.

Опр Кривая называется жордановой, если КЗФ взаимнооднозначна, то есть кривая не имеет точек самопересечения. Кривая называется замкнутой жордановой, если она замкнута и сужение взаимнооднозначно.

Пр Окружность , задаваемая КЗФ , есть гладкая жорданова замкнутая кривая.

Опр Совокупность граничных точек множества называется границей множества. Множество называется замыканием множества . Множества и всегда замкнуты.

Пр .

Опр Множество называется несвязным, если его можно разбить на два подмножества, каждое из которых не содержит предельных точек другого подмножества. В противном случае множество называется связным.

Пр - несвязные множества. - связное множество.

Опр Открытое связное множество называется областью

ЗАМЕЧАНИЕ Открытое множество является областью тогда и только тогда, когда любые две его точки можно соединить ломаной, принадлежащей этому множеству.

Опр (Коши, 1851) Область называется односвязной, если ее граница есть связное множество. Пр Круг есть односвязная область.

Опр Область называется n-связной если её границу можно разбить на попарно непересекающихся замкнутых и связных множеств (- компонент связности).

Пр Кольцо – двухсвязная область.

ТЕОРЕМА Жордана Замкнутая ограниченная жорданова кривая разбивает на две односвязных области: внутренность кривой , которая является ограниченной областью и границей которой является кривая : , и внешность кривой , имеющей внутренней точкой и граница которой тоже совпадает с : .