Разложения в ряд Тейлора.
Синтаксис: taylor(функция, x, a, n)
Параметр n определяет, до какой степени параметра разложения (x–a)n находить решение.
Пример:
разложить функцию sin(x)+ax+1 в ряд Тейлора по степеням x+1 до третьей степени.
Алгебраические преобразования.
Maxima предоставляет широкий спектр символьных операций по преобразованию математических выражений. Некоторые из них представлены ниже:
rat(выражение) – преобразование рационального выражения к канонической форме (раскрывает все скобки, затем приводит все к общему знаменателю, суммирует и сокращает; кроме того, приводит все числа в конечной десятичной записи к рациональным);
partfrac(выражение, переменная) – запись выражения в виде суммы простейших дробей относительно переменной;
ratexpand (выражение) – раскрывает скобки в рациональном выражении. У этой функции есть флаг ratdenomdivide; по умолчанию он установлен в положении «true»: это приводит к тому, что каждая дробь, в которой числитель является суммой, распадается на сумму дробей с одинаковым знаменателем. Если же сбросить эту опцию в «false», тогда все дроби с одинаковым знаменателем будут, напротив, объединены в одну дробь с числителем в виде суммы числителей изначальных дробей;
combine (выражение) – собирает воедино дроби с одинаковым знаменателем;
expand (выражение) – как и ratexpand, раскрывает выражения, но не только рациональные «верхнего уровня», но и все подвыражения;
factor (выражение) – в противоположность функции expand записывает выражение как произведение сомножителей. Максимально вынося все за скобки. Если этой функции передать целое число, она разложит его на простые множители, если передать рациональное число, на множители будут разложены его числитель и знаменатель;
factorsum (выражение) – используется, если многочлен не может быть представлен в виде произведения нескольких сомножителей, и преобразует выражение в сумму таких произведений.
ratsimp (выражение) – наиболее полно упрощает выражение за счет рациональных преобразований на всех возможных уровнях.
radcan (выражение) – используется для упрощения логарифмических. Экспоненциальных и степенных функций с нецелыми рациональными показателями.
trigexpand (выражение, переменная) – используется для упрощения тригонометрических выражений.
Для всех функций действуют специальные флаги для более тонкой работы. Полную информацию по ним можно посмотреть как в справочном материале самой программы, так и воспользовавшись вызовом справки функцией:
«?? название_функции»
Приведем некоторые функции Maxima для упрощения выражений:
Работа с графиками
Для построения графиков в Maxima используются стандартные функции plot2d и plot3d встроенной библиотеки Plot, вызывающие окно отдельной программы Gnuplot - свободной программы для создания двух- и трёхмерных графиков. Gnuplot имеет собственную систему команд, поэтому также может вызываться и работать интерактивно (в режиме командной строки) и выполнять скрипты. Gnuplot может выводить графики прямо на экран или в один из множества поддерживаемых графических форматов (jpeg, svg, png, postscript). Также может генерировать LaTeX вывод для вставки в LaTeX-документы, используя все возможности шрифтов из LaTeX. Имеется возможность построение графиков функций, заданных параметрически, построение графиков функций в полярных координатах, построение графиков по массивам точек (дискретным значениям). Дополнительные удобства в работе обеспечивает графический интерфейс wxMaxima, в меню «Графики», обеспечивая возможность построения графиков не только средствами ручного ввода:
Синтаксис.
plot2d (функция, ограничения по оси абсцисс, ограничения по оси ординат).
Вместо одной функции имеется возможность использовать их список, результатом будет вывод в одном окне нескольких графиков:
Для построения графиков функций, заданных параметрически, используется специальный параметр parametric, а также параметр nticks, указывающий количество опорных точек, использующееся для построения графика (чем их больше, тем график получается более плавным):
В общем случае для получения графика параметрической кривой записывается команда
plot2d ([parametric, x-выражение, y-выражение, [переменная, начало, конец], [nticks, количество]])
где x-выражение и y-выражение задают зависимость координат от параметра, т.е. это, по сути, две функции вида x=x(t), y=y(t) где t – переменная параметризации; эта же переменная должна фигурировать в следующем параметре-списке.
Для построения графиков функций в полярных координатах вначале необходимо задать пользовательскую функцию вида
plot_polar(expr,range):=block([theta_var: range[1]], plot2d([‘parametric,cos(theta_var)*expr, sin(theta_var)*expr,range,[nticks,80]])) .
Затем уже с ее помощью выполнять построение графиков:
Рассмотрим некоторые примеры.
Для создания дискретных графиков используется параметр discrete:
Для создания трехмерных графиков используется функция plot3d, сходная с вышеописанной функцией:
Для подготовки графиков к публикации, изменения некоторых их атрибутов, удобнее пользоваться другой встроенной библиотекой - Draw.
В этом случае используется функция draw2d (или схожая с ней draw3d)с параметром explicit, в котором указывается математическая функция, график которой мы собираемся построить:
Использование этой функции позволяет нам изменять некоторые визуальные свойства графика согласно нашим нуждам, используя дополнительные параметры:
Иногда имеет место необходимость подключить библиотеку “вручную” командой “load (draw).
Пример некоторых параметров:
axis_3d (true/false) – показывает или не отображает координатные оси на трехмерном графике;
axis_bottom, axis_left, axis_top, axis_right (true/false) – показывает или не отображает координатные оси на двухмерном графике;
border (true/false) – если флаг параметра выставлен в значение true, стороны многоугольников на графиках будут обведены линиями, согласно параметрам line_type и line_width (см. далее);
color[color, color_1, ..., color_n] (значения по умолчанию - blue, red, green, magenta, black, cyan) – определяет цвет (или цвета) кривых, присутствующих на двухмерном графике. На трехмерном графике определяет цвет ячеек поверхности в градации от значений color_1 до color_2. Если кривых больше, чем указанных цветов, они будут повторяться;
columns (значение по умолчанию - 1) – количество колонок (графиков) в окне с несколькими графиками;
fill_color (значение по умолчанию - red) – определяет цвет, которым закрашиваются многоугольники и графики функций, описанных параметром explicit;
font (значение по умолчанию –““(пустая строка)) – определяет использующийся в окне вывода графика шрифт. В окне вывода графика используется только один выбранный шрифт;
font_size – (значение по умолчанию - 12) – определяет использующийся в окне вывода графика размер шрифта, единый для всего окна. Значение считается активным, если заранее был выбрал использующийся шрифт параметром font;
grid [grid, integer, integer] (значения по умолчанию – 30, 30) – определяет размер сетки по осям x и y на трехмерных графиках;
key (значение по умолчанию – “” (пустая строка)) – название функции в легенде. Определяется до описания функции в параметре explicit;
label – позволяет выставлять подписи на графиках. Синтаксис: label(["текст подписи",координата_x,координата_y]);
label_alignment – определяет централизацию надписи соответственно указанным координатам. Возможные значения - center, left, и right;
label_orientation (значение по умолчанию - horizontal) – определяет направление текста подписей. Возможные значения – horizontal и vertical;
line_type (значение по умолчанию – solid) – определяет способ отображения кривых, возможные значения solid (сплошная) и dots (точки). Указывается до определения функции параметром explicit;
line_width (значение по умолчанию - 1) – определяет толщину линий графика, значения – положительные числа. Указывается до определения функции параметром explicit;
logx, logy и logz – выводят оси абсцисс, ординат и аппликат, соответственно, в логарифмической шкале;
point_size – (значение по умолчанию - 1) – определяет размер точек при указанном в параметре line_type значении “dots”;
point_type – (значения по умолчанию - bullet, circle, plus, times, asterisk, box, square,triangle, delta, wedge, nabla, diamond, lozenge) – определяет стиль вывода точек на графике;
terminal (значение по умолчанию - screen) – используемый способ вывода графика. Возможные значения - screen (по умолчанию, на экран), png, jpg, eps, eps_color, pdf, pdfcairo, gif, animated_gif, wxt, svg, и aquaterm;
title (значение по умолчанию – “” (пустая строка)) – определяет название графика.
xaxis, yaxis, zaxis (значения по умолчанию - false) – определяет, будут ли отображены на графике оси абсцисс, ординат и аппликат соответственно;
xaxis_color, yaxis_color, zaxis_color (значение по умолчанию - black) – определяет цвет отображения осей абсцисс, оринат и аппликат соответственно;
xaxis_type, yaxis_type, zaxis_type – (значение по умолчанию - dots) – определяет тип отображения осей абсцисс, ординат и аппликат соответственно. Возможные значения – dots (точки) и solid (сплошные);
xaxis_width, yaxis_width, zaxis_width (значение по умолчанию - 1) - определяет толщину линий осей абсцисс, ординат и аппликат соответственно. Значения – положительные числа;
xlabel, ylabel, zlabel (формат ввода, например, [xlabel, string]) – определяет строку текста, которой будет подписана ось абсцисс, ординат и аппликат соответственно; если параметр не указан, в подписи будет использовано название независимой (или зависимой в случае y и z координат) переменной;
xrange, yrange, zrange (значение по умолчанию - auto) – определяет диапазон показанных на графике значений координат по соответствующим осям. Для указания необходимых значений применяется форма вида xrange=[-2, 3] и т.п.
Больше дополнительных параметров и примеров их использования можно найти в справочной системе Maxima в разделе «Package draw».