4.10. Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме

По определению работа при перемещении частицы равна скалярному произведению силы на вектор перемещения: 6А = F dr. Поэтому ра­бота действующих на один из носителей тока сил при его перемещении dti — щ dt будет

dt ,

где

+ Е

Работа SAi идет на увеличение кинетической энергии носителя тока. При столкновениях с частицами среды он отдает им приобретенную кинети­ческую энергию. Таким образом, работа сил, действующих на носители тока в проводнике, переходит во внутреннюю энергию проводника. Вы­числим количество тепла dW*, которое выделяется в объеме dV за время dt:

dV dV

Поле внутри физически бесконечно малого объема dV можно считать однородным, поэтому

dW* = (+ Ё

dV

При помощи определения (4.32) плотности тока этому выражению можно придать вид

dW* = w(t, r)dVdt, (4.45)

где величина Q

w = j I E +E_cmor, I (4.46)

называется удельной мощностью тока, или удельной мощностью джоу-лева энерговыделения. Величина w есть количество тепла, выделяю­щегося в единице объема за единицу времени. Равенства (4.45) и (4.46) выражают закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Проинтегрировав равенство (4.45) по некоторому объему V придем к соотношению dW = Pdt, где dW есть количество тепла, которое выде­ляется в объеме V за время dt, а мощность

(4.47)

P{t) = I _w(t, r) dV .

Можно доказать, что в том случае, когда объем V ограничен линиями то­ка и эквипотенциальными поверхностями, подстановка выражения (4.46) под знак интеграла в (4.47) приводит к формуле Р = IU.

4.11. Задача о токе утечки конденсатора

,i

В любом веществе всегда имеются (пусть в очень незначительных ко­личествах) носители тока. Другими словами, любое вещество обладает способностью проводить электрический ток.

Одним из назначений конденсатора является сохранение зарядов, по­мещенных на его обкладках. Поэтому вещество, заполняющее простран­ство между обкладками конденсатора, должно иметь по возможности наименьшую электропроводность. В противном случае электрический ток, обусловленный присутствием в веществе подвижных заряженных частиц, приведет к быстрому уменьшению зарядов на обкладках кон­денсатора. Такой ток называют током утечки.

Рассмотрим конденсатор с обкладками произвольной формы, который заполнен однородной и изотропной средой с диэлектрической проницае­мостью е и удельным сопротивлением р. Найдем силу тока / утечки при условии, что на конденсатор подано напряжение U, а его емкость равна С.

Окружим одну из обкладок конденсатора воображаемой поверхностью S. По определению сила тока

В силу закона Ома в дифференциальной форме

Так как среда однородна и ее удельное сопротивление всюду одинаково, после подстановки этого выражения в интеграл (4.48), получим

Е dS

Р

Теперь применим теорему Гаусса

где Q - заряд внутри поверхности S, т.е. на одной из обкладок конден­сатора. Так как Е =-Dе

сила тока

1 =

dS =

Заряд Q конденсатора пропорционален напряжению U на его обкладках:

При помощи этой формулы найдем, что сила тока утечки

ПРОВОДНИКИ В ПОСТОЯННОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ

(продолжение)