- •Ю.М. Осипов
- •1. Частотные характеристики. Резонансные явления
- •1.1 Частотные характеристики двухполюсников
- •1.2 Частотные характеристики реактивных двухполюсников
- •1.3. Резонансные режимы двухполюсников с потерями
- •1.4 Частотные характеристики четырехполюсников
- •1.5 Определение внешних частотных характеристик четырехполюсников через a параметры
- •2. Частотный анализ цепей при действии несинусоидальных периодических сигналов
- •2.1. Спектры периодических сигналов
- •2.2 Определение реакции линейной цепи на действие негармонического периодического сигнала
- •3. Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •3.1 Основные определения и физические условия
- •3.2 Электрические цепи первого порядка
- •3.3 Переходные процессы в цепях второго порядка
- •3.4 Уравнения состояния электрической цепи
- •3.4.1 Использование законов Кирхгофа
- •3.4.2 Использование метода наложения
- •3.4.3 Решение уравнений состояния цепи
- •3.5 Расчёт переходных процессов операторным методом
- •4. Задачи для самостоятельного решения
3. Переходные процессы в линейных электрических цепях
3.1 Основные определения и физические условия
В учебном пособии [1], а также в первой и второй части настоящего пособия исследовались стационарные (установившиеся) режимы работы электрической цепи, когда такие интегральные характеристики как показания электроизмерительных приборов - амперметров, вольтметров, ваттметров оставались неизменными в течение достаточно долгого интервала времени, когда наблюдаемая на экране осциллографа форма тока или напряжения также оставалась неизменной на каждом интервале периода T. Это имело место в цепях, где действовали источники сигналов постоянного, синусоидального и негармонического периодического тока. В более общем случае задача анализа цепи сводится к изучению переходных процессов (характеристик) цепи, возникающих при переходе от одного стационарного режима к другому. Переходные процессы могут быть вызваны включением, отключением или переключением каких либо элементов в цепи, где действуют источники энергии. Такое изменение структуры цепи называется коммутацией.
Коммутацию в цепи показывают в виде ключа, сопротивление которого равно нулю, если ключ замкнут, и бесконечно велико, если ключ разомкнут. На схемах обычно изображают положение ключа в докоммутационный период; считается, что в момент времени t = 0 ключ переходит (мгновенно) в другое положение, после чего в цепи наступает переходный процесс. Токи и напряжения в отдельных элементах цепи приходят к новым установившимся состояниям. Этот процесс не происходит мгновенно, так как при наличии в цепи реактивных элементов - индуктивностей и емкостей - энергия магнитного и электрического поля, запасенная в этих элементах, не может изменяться скачком, а имеет тенденцию монотонного непрерывного изменения с некоторой скоростью. Этот вывод математически записывается в виде двух законов коммутации:
1. Потокосцепление в индуктивности не может изменяться скачком:
-
(3.1)
Если в процессе коммутации индуктивность не меняет своей величины , то как следствие имеем равенство тока в индуктивности в первый момент до и после коммутации. Это же условие непрерывности функции тока будет иметь место в любой момент времени t:
-
(3.2)
2. Заряд на емкости не может изменяться скачком
-
(3.3)
Если в процессе коммутации емкость не меняет своей величины ( ), то, как следствие, имеем равенство напряжений на емкости до и после коммутации. Это же условие непрерывности функции напряжения будет иметь место в любой момент времени t
-
(3.4)
Функции тока и напряжения , изменяющиеся монотонно, без скачков, играют ключевую роль при анализе переходных процессов; они носят название переменных состояния. Все остальные переменные (например, токи и напряжения в резистивных элементах) однозначно определяются этими функциями.
В общем случае анализ переходных процессов в линейных цепях начинают с составления полной системы уравнений равновесия цепи по законам Кирхгофа [1]. Как известно, эти равенства тождественные и определяют поведение токов и напряжений в любой момент времени t. Подстановка в них компонентных соотношений типа
-
, ,
(3.5)
сводит эту систему к набору дифференциальных и алгебраических уравнений. Для определения искомой функции, которую можно считать реакцией цепи на коммутацию, систему уравнений сводят к одному уравнению n–го порядка с постоянными коэффициентами. Целесообразно это уравнение получить для любой переменной состояния или
-
(3.6)
где i = i(t) - выходная реакция (здесь ток i); f(t) - правая часть, которая определяется только известными независимыми источниками питания цепи; n - порядок электрической цепи, определяемый суммой реактивных (индуктивных nL и емкостных nC) элементов цепи. При этом предполагается, что схема исследуемой цепи преобразована к соединению только канонических ветвей [1].
Общее решение линейного дифференциального уравнения (3.6) ищут в виде суммы двух составляющих
|
(3.7) |
Здесь -называется свободной составляющей решения; она не зависит от внешних источников энергии, а обусловлена только энергией, запасенной в реактивных элементах цепи. Эта часть решения записывается как сумма n слагаемых определенного типа:
|
(3.8) |
где Ak - постоянные коэффициенты интегрирования; - корни характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение получается из исследуемого дифференциального уравнения посредством замены правой части на ноль (f(t) = 0) и замены операторов дифференцирования на (или )
-
(3.9)
Решение алгебраического уравнения (3.9) позволяет найти n корней и записать свободную составляющую решения в виде (3.8). Для всех цепей, исследуемых в курсе электротехники, корни характеристического уравнения либо отрицательны, либо комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью. Это в свою очередь означает, что свободная составляющая решения с изменением времени от t=0 до постепенно уменьшается и становится равной нулю, и тогда реакция цепи будет определяться только вторым слагаемым выражения (3.7).
Второе слагаемое называется принужденной составляющей решения; она зависит от правой части уравнения (3.6), т.е. от вида приложенного к цепи сигнала, вырабатываемого источниками питания, и параметров цепи. Наиболее просто принужденная составляющая может быть определена, если действие внешних источников воздействия на цепь носит стационарный характер, например, постоянный или гармонический. В этом случае анализируют токи и напряжения в цепи в момент времени , т.е. когда переходный процесс в цепи закончен и цепь находится в новом установившемся состоянии.
Итак, общее решение уравнения (3.6) имеет вид
Из математической теории решения линейных дифференциальных уравнений следует (задача Коши), что для определения постоянных интегрирования - необходимо знать n начальных условий в виде значений искомой функции, и ее (n - 1) производных при
-
t=0:
Эти значения должны быть найдены из анализа исходной цепи как в докоммутационный момент времени
t = 0-, так и в первый момент после коммутации t = 0+.
Приведенную здесь общую схему анализа переходных процессов на основе решения дифференциального уравнения называют классическим методом.