Содержание:

1.Приближенные числа и действия с ними.

2. Понятие относительной погрешности.

3. Понятие конечных разностей функции.

4. Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Численное интегрирование.

6. Численное дифференцирование.

1. Приближенные числа и действия с ними.

Модуль разности между точным числом и его приближенным значением называется абсолютной погрешностью приближенного значения числа.

Абсолютная погрешность суммы и разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей.

Пример1 При вычислении выражения  данные в условии задачи значения  и  округлили до целых значений и получили Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна … Решение: Значит, абсолютная погрешность числа 20 равна  и абсолютная погрешность числа 5 равна  . Тогда абсолютная погрешность числа 25 будет равна 

• При вычислении выражения  данные в условии задачи значения  и  округлили до целых значений и получили Тогда абсолютная погрешность полученного результата равна …1,9

2. Понятие относительной погрешности.

Относительная погрешность приближенного положительного числа равна отношению абсолютной погрешности числа к точному значению этого числа. Так как точное значение числа, как правило, неизвестно, то под относительной погрешностью понимают отношение абсолютной погрешности числа к его приближенному значению.

Относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей сомножителей.

Пример1 Известно, что стороны прямоугольника равны 122 см и 58 см. Для упрощения вычислений эти числа были округлены до 120 см и 60 см. Была найдена площадь S = 120∙60 = 7200 кв. см. Полученный результат имеет относительную погрешность равную …Решение: Тогда относительные погрешности чисел 120 и 60 равны соответственно

• Для вычисления площади стены измерили ее длину и ширину. Получили 603 см и 245 см. Округлив полученные результаты до 600 см и 250 см соответственно, вычислили площадь стены  (кв. см.) Тогда относительная погрешность полученного результата равна …0,025

• Вычислили значение функции  при  и  получили результат, равный 400. Известны относительные погрешности чисел 4 и 5:  Тогда относительная погрешность полученного результата равна …

• Известно, что ребра прямоугольного параллелепипеда равны 103 см, 21 см и 98 см. Для упрощения вычислений эти числа округлили до 100 см, 20 см и 100 см соответственно. Нашли объем:  (куб. см.) Полученный результат имеет относительную погрешность, равную …0,1

• Вычислили значение функции  при  и  получили результат, равный 5. Известны относительные погрешности чисел 10 и 20:  Тогда относительная погрешность полученного результата равна …

3. Понятие конечных разностей функции.

Задание функции y = f(x) в виде набора пар чисел (x_i, y_i) называется табличным заданием функции

xi	yi
x0	y1
x1	y2
x2	y3
•••	•••
xn	yn

Значения x₀, x₁, … , x_n называются узлами таблицы.

Таблицы бывают с постоянным и переменным шагом. Если таблица имеет постоянный шаг, то

x₁ – x₀ = x₂ – x₁ = … = x_n – x_n-1 = h

x_i = x₀ + ih, i = 0, 1, 2, …, n

Если таблица имеет переменный шаг, то

x₁ – x₀ ≠ x₂ – x₁ ≠ … ≠ x_n – x_n-1

Для таблиц с постоянным шагом вводится понятие конечных разностей. Для нахождения конечных разностей можно воспользоваться следующей схемой: для вычисления значений в i строке следующего столбца таблицы нужно вычесть из числа, стоящего в i+1 строке, число, стоящее в i строке в предыдущем столбце.

Xi	Yi	∆Y	∆2Y	…	∆nY
X0	Y0	∆Y0 ∆Y1 … ∆Yn-2 ∆Yn-1	∆2Y0 ∆2Yn-2
X1	Y1
X2	Y2			…
…	…
Xn-1	Yn-1
Xn	Yn

Где

∆Y_i=Y_i+1-Y_i конечная разность первого порядка

∆²Y_i=∆Y_i+1-∆Y_i конечная разность второго порядка

∆³Y_i=∆²Y_i+1-∆²Y_i конечная разность третьего порядка и т.д.

Пример1: функция f(x) задана таблично. Составить конечные разности.

Xi	Yi	∆Y	∆2Y	∆3Y
5	9	3 4	0	1
7	12
9	15		1
11	19

Пример2:Для некоторой функции  известна таблица ее значений . Тогда конечная разность  равна … Решение: Эта схема соответствует формуле. Тогда получим: .

• Дана таблица для вычисления конечных разностей некоторой функции: . Конечная разность  равна …

• Для некоторой функции  известна таблица ее значений . Тогда конечная разность  равна …0,1

• Для некоторой функции  известна таблица ее значений . Тогда конечная разность  равна …