Чернова. Курс лекций по теории вероятностей

УДК 519.21 ББК В17я73-2 Ч493

Чернова Н. И. Теория вероятностей: Учеб. пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2007. 160 с.

ISBN 978-5-94356-506-9

Учебное пособие содержит полный курс лекций по теории вероятностей, более 10 лет читаемый автором на первом курсе отделения экономики экономического факультета НГУ. Подбор материала является традиционным для курса теории вероятностей, излагаемого студентам экономических специальностей университетов, и включает основы теории меры, основы комбинаторики, элементарную и аналитическую теорию вероятностей, предельные теоремы теории вероятностей.

Пособие соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта к профессиональным образовательным программам по специальности 061800 «Математические методы в экономике».

Предназначено для студентов экономических специальностей.

Рецензент

канд. физ.-мат. наук А. П. Ковалевский

Издание подготовлено в рамках выполнения инновационно-образова- тельной программы «Инновационные образовательные программы и технологии, реализуемые на принципах партнерства классического университета, науки, бизнеса и государства» национального проекта «Образование».

§1. Измеримость функций от случайных величин . . . . . . . . . 71

§2. Распределения функций от случайных величин . . . . . . . . 72

Г л а в а VII. Многомерные распределения . . . . . . . . . . . . 75

§1. Совместное распределение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

§2. Типы многомерных распределений . . . . . . . . . . . . . . . 76

§3. Примеры многомерных распределений . . . . . . . . . . . . . 79

§ 4. Роль совместного распределения . . . . . . . . . . . . . . . . 80

§5. Независимость случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . 81

§6. Функции от двух случайных величин . . . . . . . . . . . . . . 83

§2. Свойства математического ожидания . . . . . . . . . . . . . . 90

§3. Дисперсия и моменты старших порядков . . . . . . . . . . . . 93

§4. Свойства дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

§5. Математические ожидания и дисперсии стандартных распре-

§2. Коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Гл а в а X. Сходимость последовательностей случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

§1. Сходимости «почти наверное» и «по вероятности» . . . . . . 111

§2. Неравенства Чебышёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§3. Законы больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Гл а в а XI. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . 121

§1. Как быстро среднее арифметическое сходится к математическому ожиданию? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

§2. Слабая сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

§3. Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . 126

— Знаете что, милый Арамис? — сказал д’Артаньян, ненавидевший стихи почти так же сильно, как латынь. — Добавьте к достоинству трудности достоинство краткости, и вы сможете быть уверены в том, что ваша поэма будет иметь никак не менее двух достоинств.

А. Дюма. Три мушкетёра

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие содержит курс лекций по теории вероятностей, читаемый автором студентам 1-го курса отделения экономики экономического факультета НГУ. Курс теории вероятностей опирается на курсы математического анализа и алгебры и служит основой для следующего за ним курса математической статистики, которая, в свою очередь, является основой для одной из главных дисциплин специализации экономистов-мате- матиков — эконометрики.

Задача курса — обучить студентов математическим методам исследования вероятностных математических моделей, предоставить им необходимый математический аппарат, привить вероятностный взгляд на мир.

Курс разбит на 12 глав. Первые две главы знакомят читателя с основными понятиями и аксиомами теории вероятностей. Третья глава посвящена условной вероятности и её следствиям. Здесь же обсуждается понятие независимости событий. Схема Бернулли рассмотрена в четвёртой главе. Здесь же встречаются первые предельные теоремы.

Пятая глава знакомит читателя с понятием случайной величины и её распределения. Здесь же дан перечень стандартных семейств распределений и изучаются их свойства. Глава шестая посвящена изучению преобразований случайных величин.

В седьмой главе рассмотрены совместные распределения случайных величин. Особый акцент сделан на влиянии совместного распределения на распределения функций от случайных векторов. Независимость случайных величин вводится как частный случай совместного распределения, позволяющий обойтись знанием маргинальных распределений. Здесь же подробно рассмотрено суммирование независимых случайных величин, формула свёртки и следствия из неё.

Глава восьмая посвящена математическим ожиданиям, дисперсиям и другим важным числовым характеристикам распределений. Математические ожидания вводятся отдельно для дискретного и для абсолют-

но непрерывного распределения. Коэффициент корреляции обсуждается в главе девятой.

Глава десятая знакомит читателя с видами сходимостей последовательностей случайных величин и законами больших чисел. В одиннадцатой главе излагаются свойства слабой сходимости и центральная предельная теорема для независимых и одинаково распределённых слагаемых. В последней главе рассмотрены характеристические функции и их применение

втеории вероятностей.

Вконце курса приведён список контрольных вопросов. Вопросы подобраны так, чтобы акцентировать внимание читателя на важных моментах, которые могут остаться незамеченными при первом чтении. Если читателю не удаётся дать ответ на какой-либо вопрос, ему стоит повторно разобрать теоретический материал.

Приложение содержит таблицы с перечнем основных характеристик дискретных и абсолютно непрерывных распределений, таблицу значений функции распределения стандартного нормального закона.

Вконце пособия приведён подробный предметный указатель. В списке литературы перечислены учебники, которые можно использовать в дополнение к курсу, и сборники задач для практических занятий.

Нумерация параграфов в каждой главе отдельная. Формулы, примеры, утверждения и т. п. имеют сквозную нумерацию. При ссылке на объект из другой главы для удобства читателя указан номер страницы, на которой содержится объект. При ссылке на объект из той же главы приводится только номер формулы, примера, утверждения. Окончание доказательств отмечено значком .

Автор искренне признателен своим коллегам по кафедре теории вероятностей и математической статистики ММФ НГУ за то влияние, которое они оказали на содержание данного курса и на методические воззрения автора.

Г Л А В А I

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

. . . Я употребил обыкновенную хитрость романистов: начал повесть эффектными сценами, вырванными из средины или конца её, прикрыл их туманом. Ты, публика, добра, очень добра, а потому ты неразборчива и недогадлива. На тебя нельзя положиться, что ты с первых страниц можешь различить, будет ли содержание повести стоить того, чтобы прочесть её, у тебя плохое чутьё, оно нуждается в пособии, а пособий этих два: или имя автора, или эффектность манеры.

Н. Г. Чернышевский. Что делать?

§ 1. Элементы комбинаторики

Научимся подсчитывать число «шансов». О числе шансов говорят, когда возможно несколько результатов какого-либо действия (выбор карты из колоды, подбрасывание кубика или монетки). Формулы комбинаторики позволяют посчитать число способов проделать действие или число его возможных результатов.

Теорема о перемножении шансов. Основной принцип комбинаторики заключается в следующем: если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент — m способами, то упорядоченную пару элементов можно составить km способами.

Т е о р е м а 1. Пусть множество A = {a1, . . . , ak} состоит из k элементов, а множество B = {b1, . . . , bm} — из m элементов. Тогда можно образовать ровно km пар (ai, bj), взяв первый элемент из множества A, а второй — из множества B.

Д о к а з а т е л ь с т в о. С элементом a1 мы можем образовать m пар: (a1, b1), (a1, b2), . . . , (a1, bm). Столько же пар можно составить с элементом a2 или с любым другим из k элементов множества A. Таким образом,