
- •Ю.М. Осипов
- •1. Частотные характеристики. Резонансные явления
- •1.1 Частотные характеристики двухполюсников
- •1.2 Частотные характеристики реактивных двухполюсников
- •1.3. Резонансные режимы двухполюсников с потерями
- •1.4 Частотные характеристики четырехполюсников
- •1.5 Определение внешних частотных характеристик четырехполюсников через a параметры
- •2. Частотный анализ цепей при действии несинусоидальных периодических сигналов
- •2.1. Спектры периодических сигналов
- •2.2 Определение реакции линейной цепи на действие негармонического периодического сигнала
- •3. Переходные процессы в линейных электрических цепях
- •3.1 Основные определения и физические условия
- •3.2 Электрические цепи первого порядка
- •3.3 Переходные процессы в цепях второго порядка
- •3.4 Уравнения состояния электрической цепи
- •3.4.1 Использование законов Кирхгофа
- •3.4.2 Использование метода наложения
- •3.4.3 Решение уравнений состояния цепи
- •3.5 Расчёт переходных процессов операторным методом
- •4. Задачи для самостоятельного решения
1.3. Резонансные режимы двухполюсников с потерями
Двухполюсник, включающий полный набор элементов r, L и C, при питании от источника синусоидального тока будет частично потреблять энергию источника в резистивных элементах цепи (активная мощность P>0), а частично участвовать в обмене энергией с источником, периодически запасая ее в реактивных элементах в виде энергии электрического и магнитного поля. Реактивная мощность Q, характеризующая процесс обмена реактивной энергией, в общем случае определяется разностью суммарных реактивных мощностей, запасенных в индуктивностях, и суммарных реактивных мощностей, запасенных в емкостях:
-
(1.6)
Знак минус в выражении (1.6) означает, что реактивные элементы разных типов обмениваются энергией не только с источником, но и между собой; при этом энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот.
На
некоторых частотах, которые называются
резонансными, суммарная энергия,
запасенная в индуктивных элементах
,
полностью компенсируется энергией,
запасенной в емкостных элементах
.
Тогда суммарная реактивная мощность
становится равной нулю (Q
= 0), и это условие можно считать одним
из определений резонансного состояния
цепи. На основе этого вывода следуют
ряд положений, каждое из которых можно
также считать определением или признаком
резонанса:
1. Полная мощность S = P + jQ, потребляемая двухполюсником, целиком определяется активной мощностью P:
-
S = P
Q = 0
(1.7)
2. Коэффициент мощности становится равным единице, а сам аргумент нулю: cosφ = P/S = 1, φ = 0;
3.
Этот же аргумент φ
определяет угол сдвига фаз между током
и напряжением. Следовательно, на
резонансной частоте ток и напряжение
на входных зажимах двухполюсника
совпадают по фазе:
;
4.
Угол сдвига фаз φ совпадает по величине
с аргументом функции входного сопротивления
,
который вычисляется по формуле
-
φ = arctg (X/R)
Если φ = 0, а R не равняется нулю и имеет конечное значение, то мнимая часть функции входного сопротивления должна обращаться в ноль:
-
X = Jm(Z) = 0
(1.8)
Этим выражением пользуются для определения точек резонанса напряжений, т.е. нулевых резонансных частот.
5. Аналогичные рассуждения можно привести и для функции входной проводимости двухполюсника, которая определяется как величина, обратная входному сопротивлению (см. (1.2)):
|
|
Если φ = 0, а G не равняется нулю и имеет конечное значение, то
мнимая часть функции входной проводимости должна обращаться в ноль:
-
B = Jm(Y) = 0
(1.9)
Этим выражением пользуются для определения точек резонанса токов, т.е. полюсных резонансных частот.
В двухполюсниках с потерями число резонансных частот зависит не только от общего числа реактивных элементов цепи, но и от численных значений параметров r, L и C. Это положение приводит к необходимости дополнительного исследования тех выражений резонансных частот, которые определяются в результате использования условий (1.8) и (1.9). Кроме того, перед решением задачи необходимо установить какие резонансные режимы могут иметь место в рассматриваемой цепи. Для этого рекомендуется рассмотреть две предельные задачи: первая из них получается из исходной цепи путем замены всех резистивных элементов на ноль (r = 0), вторая задача предполагает замену всех резистивных элементов на бесконечность (r = ∞), что означает разрыв ветвей, содержащих резистивные элементы. Обе предельные задачи преобразуют исходную цепь к чисто реактивной, для которой легко просматриваются возможные резонансные режимы (см. выше раздел 1.2).
Пример 1.4. Исследовать резонансные режимы для цепи, изображенной на рис.1.8а.
Анализ цепи начинаем с двух предельных схем замещения рис.1.9а,б, которые будут иметь место, если r = ∞ (режим холостого хода х.х.) и r = 0 (режим короткого замыкания к.з.).
а) б)
Рис. 1.8. Схема двухполюсника с потерями:
а)исходная схема; б)комплексная схема
В схеме рис.1.9a реактивные элементы L и C соединены последовательно, и в этой цепи возможен резонанс напряжений. В цепи рис.1.9б элемент С замкнут накоротко, и входное сопротивление двухполюсника определяется только индуктивностью L; следовательно в такой цепи резонанса быть не может.
а) б)
Рис. 1.9. Предельные схемы замещения двухполюсника: а)r→∞;б) r→0
Итак, возвращаясь к исходной цепи рис.1.8а, делаем вывод о возможном резонансе напряжений в заданной цепи при определенном соотношении параметров r, L и C.
Переходим
к анализу комплексной схемы замещения
исходной цепи рис.1.8б, где
;
;
.
Находим входное сопротивление и приводим
его к алгебраической форме записи,
освобождаясь от мнимости в знаменателе
путем умножения числителя и знаменателя
второго слагаемого на комплексно-сопряженное
выражение. Произведенные действия
позволяют выделить в общем виде мнимую
часть входного сопротивления
Используя условие резонанса напряжений (1.8), приравниваем мнимую часть полученного выражения к нулю
Достаточно приравнять к нулю числитель и решить полученное уравнение относительно частоты ω.
Решение
включает два корня:
и
.
Первый
корень характеризует поведение цепи
на постоянном токе, когда не происходит
обмена реактивной мощности между
индуктивностью L
и емкостью C,
а вся энергия источника тратится в
резистивном элементе r:
.
Выражение для второго корня
можно преобразовать к виду, близкому к
известной формуле Томсона, если вынести
за знак квадратного корня выражение
:
-
(1.10)
где
в конечное выражение введена величина
,
которая называется волновым сопротивлением
последовательного колебательного
контура. Полученное выражение (1.10)
показывает, что при выполнении условия
r
> ρ в цепи будет иметь место резонанс
напряжений. При этом входное сопротивление
двухполюсника будет определяться только
его вещественной частью:
Если численные параметры цепи такие, что выполняется обратное условие r < ρ, то резонанса в цепи не будет.
Векторная диаграмма токов и напряжений, соответствующая резонансному режиму, показана на рис.1.10.
Рис. 1.10. Векторная диаграмма токов и напряжений
При
построении векторной диаграммы учтено,
что ток
и напряжение
совпадают по фазе, т.е.
.
Кроме того должно выполняться равенство
,
что характеризует баланс реактивных
мощностей.
Задача решена.