Основные зависимости

Момент силы относительно оси z:

,

где - радиус-вектор, определяющий положение точки приложения силы относительно произвольной точки на оси ; - проекция силы на касательную к окружности с центром оси , лежащей в плоскости, перпендикулярной оси и проходящей через точку приложения силы; - радиус этой окружности.

М омент импульса твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси :

где - момент инерции твердого тела относительно оси ; - угловая скорость вращения твердого тела.

Момент импульса твердого тела, движущегося поступательно, относительно точки или оси равен аналогичному моменту импульса материальной точки, имеющей ту же массу и движущейся вместе с центром масс твердого тела.

Уравнение динамики вращательного движения механической системы относительно неподвижной оси:

.

Здесь - сумма моментов импульсов всех частей механической системы относительно оси ; - сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно оси . Если , то из этого уравнения следует закон сохранения момента импульса относительно оси :

.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси :

.

Момент инерции некоторых однородных твердых тел массой простой формы:

сплошного кругового цилиндра с радиусом относительно его оси:

;

сплошного шара с радиусом относительно оси, проходящей через центр шара:

;

тонкого стержня длиной относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец:

.

Теорема Штейнера:

,

где - момент инерции твердого тела, относительно оси, проходящей через центр масс; - момент инерции относительно оси , параллельной ; a - расстояние между осями и .

Колебания Общие условия задачи 3

Для данной колебательной системы (КС), представленной на соответствующем рисунке, необходимо:

1. Вывести дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний, если сила сопротивления движению КС пропорциональна скорости, т.е. , где r - коэффициент сопротивления.

2. Определить круговую частоту ₀ и период T₀ свободных незатухающих колебаний.

3. Найти круговую частоту  и период T свободных затухающих колебаний.

4. Вычислить логарифмический декремент затухания.

5. Определить, используя начальные условия задачи и исходные данные, начальные амплитуду A₀ и фазу ₀ колебаний.

6. Написать с учетом найденных значений уравнение колебаний.

Другие исходные данные и начальные условия задачи для каждого варианта задания приведены в табл. 8 – 13.

Общие исходные данные: m^* = 0,1 кг; k^* = 10 Н/м; l^* = 0,1 м; r* = 0,1 кг/с; v* = 0,1 м/с; * = 10³ кг/м³; S* = 10^-3 м²; * = /3.

Задача 3-1

k₁

m

k₁

L

k ₂

k₁

L

k ₂

k ₂

Рис. 10

m

m

k₁

k ₂

m

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 11

Колебательная система (КС), представленная на рис. 10, 11, 12, 13, состоит из шайбы массой m и двух упругих пружин, имеющих жесткости k₁ и k₂ . На рис. 10, 12 шайба колеблется под действием пружин, соединенных параллельно, а на рис. 11, 13 колебания происходят под действием пружин, соединенных последовательно. Массой пружин можно пренебречь. На рис. 10, 11 КС имеет горизонтальное расположение, а на рис. 12, 13 вертикальное расположение в поле силы тяжести. l₁₀ и l₂₀ – длины 1-ой и 2-ой пружин в недеформированных состояниях; L (на рис.10, 12)—длина каждой пружины в деформированном состоянии; L (на рис.11, 13) — общая длина двух пружин в деформированном состоянии; – возможные векторы начальной скорости шайбы. Шайбу, находящуюся в положении равновесия, смещают до расстояния L, а затем импульсом придают ей в начальный момент времени t = 0, в соответствии с заданием, скорость (см. таблицы № 8 - 11). В результате КС приходит в колебательное движение.

Таблица №8 (к рис. 10)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
1	r*	1,6 k*	1,4 k *	1,4m*	l*	l*	0,9l*	0,4U*	0
2	2r*	1,2 k*	k *	1,5m*	1,1l*	1,1l*	1,2l*	0,5U*	0
3	4r*	1,6 k*	1,4 k *	m*	1,2l*	1,2l*	1,1l*	0	0,3 U*
4	2r*	1,4 k*	1,2 k *	0,8m*	l*	l*	1,1l*	0	0,2 U*
5	3r*	k *	0,8 k *	1,2m*	0,9l*	0,9l*	l*	0,4U*	0

Таблица №9 (к рис. 11)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
6	r*	1,4 k*	1,2 k*	1,2m*	1,1l*	1,1l*	2,1l*	0,5U*	0
7	3r*	0,8 k*	k*	m*	l*	l*	2,1l*	0,4U*	0
8	2r*	1,6 k*	1,4 k*	0,8m*	l*	l*	1,9l*	0	0,2U*
9	3r*	k*	1,2 k*	1,4m*	1,1l*	1,1l*	2,3l*	0	0,3U*
10	4r*	1,8 k*	2 k*	1,6m*	0,8l*	0,8l*	1,7l*	0,5U*	0

Таблица №10 (к рис. 12)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
11	2r*	1,6 k*	1,4 k*	m*	1,6l*	1,6l*	1,5l*	U*	0
12	r*	0,8 k*	k*	1,6m*	2l*	2l*	2,6l*	0	0,8U*
13	2r*	1,2 k*	1,4 k*	1,4m*	1,5l*	1,5l*	1,4l*	0	U*
14	3r*	2k*	1,8 k*	0,8m*	l*	l*	1,6l*	0,8U*	0
15	r*	k*	1,2 k*	1,2m*	1,1l*	1,1l*	l*	U*	0

Таблица №11 (к рис. 13)

№ вар.	r	k1	k 2	m	l10	l20	L	V1	V2
16	r*	1,6k*	1,4k*	0,8m*	3l*	3l*	5,8l*	U*	0
17	3r*	1,2k*	k*	0,4m*	2l*	2l*	4,8l*	0,8U*	0
18	r*	1,8k*	1,6k*	m*	4l*	4l*	7,8l*	0	U*
19	3r*	2k*	1,8k*	0,4m*	3l*	3l*	6,6l*	0	0,8U*
20	2r*	0,8k*	k*	m*	l*	l*	1,8l*	U*	0

Задача 3-2

Колебательная система (КС), представленная на рис. 14, состоит из невесомой пробирки площадью поперечного сечения S , на дно которой насыпана свинцовая дробь массой m . Пробирка с дробью опущена в жидкость плотностью  и находится в ней в вертикальном положении.

Коэффициент сопротивления при движении пробирки в жидкости равен r.

Пробирку, находящуюся в положении равновесия, смещают на глубину H, а затем импульсом придают ей в начальный момент времени t=0 скорость или , в соответствии с заданием (см. таблицу № 12).

В результате КС приходит в колебательное движение в вертикальном направлении.

Таблица №12

№ вар.		S	m	r	H	V1	V2
21	*	S*	m*	5r*	1,1l*	0,2U*	0
22	*	1,2S*	2m*	5r*	1,9l*	0	0,3U*
23	0,9*	1,1S*	1,5m*	6r*	1,6l*	0,4U*	0
24	0,9*	S*	m*	6r*	1,2l*	0	0,2U*

Задача 3-3

На рис. 15 представлен физический маятник (ФМ), состоящий из двух шаров радиусами R₁ и R­₂ , и массами соответственно m₁ и m₂. Шары жёстко скреплены с помощью стержня длиной L и массой m₃. Через т. О стержня проходит горизонтальная ось вращения ФМ, расположенная на расстоянии l₀ от верхнего конца стержня, так что ФМ может совершать вращательное движение в вертикальной плоскости. ФМ, находящийся в положении равновесия, отклоняют на угол ₀ (см. таблицу № 13), а затем в начальный момент времени t=0 отпускают. В результате ФН начинает совершать свободные незатухающие колебания, т.е. в этой задаче коэффициент сопротивления считается равным нулю (r = 0).

Таблица №13

№ вар.	m1	m2	m3	R1	R2	L	l0	0
25	8,8m*	21m*	32m*	0,3l*	0,4l*	10l*	3l*	1/2*
26	21m*	41m*	35m*	0,4l*	0,5l*	12l*	4l*	1/3*
27	8,8m*	21m*	28m*	0,3l*	0,4l*	8l*	2l*	1/4*
28	21m*	41m*	30m*	0,4l*	0,5l*	9l*	3l*	1/2*

ВОЛНЫ

Задача 4-1

В среде на расстоянии d друг от друга находятся одинаковые излучатели плоских акустических монохроматических волн (S₁ и S₂, рис.16). Оба излучателя колеблются по закону =Acos(t), где  - смещение излучателя из положения равновесия при колебаниях, A - амплитуда,  - круговая частота при колебаниях излучателя.

x

S₂

S₁

M

d

l

Рис. 16

Исходные данные для каждого варианта задания представлены в таблице № 14.

Таблица 14

№ вар.	Частота , кГц	Амплитуда А, мм	d, м	l, м	Среда	Скорость волны в среде с, м/с
1	1	0,8	1,02	30	воздух	340
2	2	0,6	0,68	20	воздух	340
3	1	0,5	0,34	10	воздух	340
4	10	0,3	0,9	30	вода	1500
5	20	0,2	0,6	20	вода	1500
6	10	0,1	0,3	10	вода	1500

Необходимо:

1. вывести уравнение колебаний частиц среды в т. М, находящейся на расстоянии l от второго излучателя. Считать, что направления колебаний частиц среды в т. М совпадают;

2. определить отношение амплитуды смещений частиц среды к длине волны ;

3. вывести уравнение колебаний скорости частиц среды. Найти амплитуду скорости частиц среды и её отношение к скорости распространения волны;

4. вывести уравнение колебаний деформаций частиц среды. Найти связь амплитуды деформаций с амплитудой скорости частиц среды.

Задача 4-2

Для стержня длиной L , закреплённого, как указано на рис. 17 или 18, необходимо:

Рис. 17

Рис. 18

1. вывести формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в стержне, при которых в нём образуется стоячая волна;

2. указать какая частота колебаний является основной, а какие частоты относятся к обертонам (к высшим гармоникам);

3. определить частоту и длину волны i-ой гармоники;

4. для этой гармоники нарисовать вдоль стержня качественную картину:

а) стоячей волны амплитуд смещений;

б) стоячей волны амплитуд деформаций.

Исходные данные для каждого варианта задачи представлены в таблице № 15.

Таблица 15

№ вар.	Вид крепления	Материал	Плотность ,103 кг/м3	Модуль Юнга Е,1010 Па	Длина L, м.	Определить i-ю гармонику
7	Рис 17.	Сталь	7,8	20	0,8	1
8	Рис 17.	Латунь	8,5	12	1	2
9	Рис 17.	Алюминий	2,7	7	1,2	3
10	Рис 18.	Стекло	2,5	6	1	2
11	Рис 18.	Титан	4,5	11	0,8	3
12	Рис 18.	Медь	8,9	12	1,2	1

Задача 4-3

Для прямого вертикального волновода (трубы) длиной L , расположенного в среде (воздухе или воде), как указано на соответствующем рисунке, необходимо:

Рис. 19

Рис. 20

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

Рис. 25

1. вывести формулу для возможных частот продольных волн, возбуждаемых в волноводе, при которых в нём образуется стоячая волна;

2. указать какая частота колебаний является основной, а какие частоты относятся к обертонам (к высшим гармоникам);

3. определить частоту и длину волны i -ой гармоники;

4. для этой гармоники нарисовать вдоль волновода качественную картину:

а) стоячей волны амплитуд смещений;

б) стоячей волны амплитуд давлений.

Исходные данные для каждого варианта задачи представлены в таблице № 16.

Скорость звука в воде с₁ =1500 м/c, а в воздухе с₂=340 м/c.

Таблица 16

№ вар.	Схема волновода	Среда		Длина волновода L, м	Определить i-ю гармонику
		Внутри	Снаружи
13	Рис. 20	воздух	воздух	1,02	1
14	Рис. 19	воздух	воздух	1,7	2
15	Рис. 21	воздух	воздух	0,68	1
16	Рис. 19	вода	вода	1,5	4
17	Рис. 20	вода	вода	0,9	2
18	Рис. 21	вода	вода	3,0	2
19	Рис. 22	вода	вода	0,6	1
20	Рис. 23	вода	вода	1,5	3
21	Рис. 24	воздух	воздух	1,02	2
22	Рис. 25	воздух	воздух	1,7	4

Дополнительные пояснения.

На рис. 19, 24 волноводы открыты с обоих концов. На рис. 20, 22, 23, 25 волновод на одном конце имеет жёсткую пластину, а другой его конец свободен. На рис. 21 волновод имеет жёсткие пластины с обоих концов. На рис. 23, 24, 25 - один открытый конец волновода совпадает с границей раздела сред (воздух-вода), другой конец волновода либо открыт и находится полностью в среде, либо закрыт жёсткой пластиной.

Задача 4-4

Для струны длиной l , натянутой с силой и закреплённой, как указано на рис.26, необходимо:

1. определить частоту колебаний и длину волны i -ой гармоники стоячей волны;

2. для этой гармоники нарисовать вдоль струны качественную картину:

а) стоячей волны амплитуд смещений точек струны;

б) распределения скоростей точек струны для момента времени t = 0,25T, где T - период колебания струны для i -ой гармоники.

Исходные данные для каждого варианта задачи представлены в таблице № 17

Таблица 17

№ вар.	Характеристики струны				Сила натяжения F, H	Определить i-ю гармонику
	Длина L, м	диаметр d, мм	материал струны	Плотность , 103 кг/м3
23	0,6	0,4	медь	8,9	1	3
24	0,9	0,5	медь	8,9	3	4
25	1,0	0,6	медь	8,9	4	5
26	1,2	0,3	сталь	7,8	5	4
27	0,8	0,2	сталь	7,8	6	3
28	0,7	0,1	сталь	7,8	2	2

Дополнительные пояснения. Скорость волны в струне (скорость распространения поперечных смещений) рассчитывается по формуле , где  — линейная плотность материала струны, а m - масса струны. Волновое уравнение, описывающее распространение вдоль струны поперечной волны имеет вид:

,

где z - смещение точек струны относительно положения равновесия в поперечном направлении.

19