Вариант 6

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды a1, b1, c1, d1. Найдите:

а) длину ребра A₁B₁;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра A₁B₁;

г) уравнение грани A₁B₁C₁;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D₁ на грань A₁B₁C₁;

е) координаты векторов , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер A₁D₁ и B₁C₁ соответственно;

з) разложение вектора по базису ,

если A₁(3, 0, -1), B₁(-1, -2, -4), C₁(-1, 2, 4), D₁(7, -3, 1).

2. Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

3. В ящике 18 одинаковых бутылок пива без этикеток. Известно, что треть из них «Жигулевское». Случайным образом выбирают 3 бутылки. Вычислите вероятность того, что среди них: а) только пиво сорта «Жигулевское»; б) ровно одна бутылка этого сорта.

4. В двух одинаковых коробках находятся карандаши “Конструктор”. Известно, что треть карандашей в первой коробке и ¼ во второй имеют твердость ТМ. Наугад выбирается коробка, из нее наугад извлекается один карандаш. Он оказывается твердости ТМ. Какова вероятность того, что он извлечен из первой коробки?

5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X	-2	-1	0	1	2	3	4
p	0,16	0,25	0,25	0,16	0,10	p	0,03

Найти:

а) неизвестную вероятность p;

б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью

y = 4x - 1.

6. Известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,51, а девочки 0,49. Какова вероятность того, что 300 новорожденных окажется:

а) 150 мальчиков; б) от 150 до 200 мальчиков?

Вариант 7

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды a1, b1, c1, d1. Найдите:

а) длину ребра A₁B₁;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра A₁B₁;

г) уравнение грани A₁B₁C₁;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D₁ на грань A₁B₁C₁;

е) координаты векторов , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер A₁D₁ и B₁C₁ соответственно;

з) разложение вектора по базису ,

если A₁(2, -2, 1), B₁(1, 2, -1), C₁(1, 0, 2), D₁(2, 1, 0).

2. Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

3. В студенческой группе 20 девушек. Известно, что 5 из них не любят читать детективы. Случайным образом выбирают трех девушек и дарят им по детективу. Вычислите вероятность того, что: а) все девушки оценят этот подарок; б) только одна девушка оценит этот подарок.

4. Товаровед плодоовощной базы определяет сорт поступившей от постоянного поставщика партии яблок. Известно, что в среднем 40% выращенного поставщиком урожая составляют яблоки первого сорта. Вероятность того, что товаровед признает первосортную партию первым сортом, равна 0,85. Кроме того, он может допустить ошибку, сочтя непервосортную партию первосортной, с вероятностью 0,2. Какова вероятность того, что он неверно установит сорт партии яблок?

5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X	-2	-1	0	1	2	3	4
p	0,06	p	0,12	0,24	0,33	0,14	0,03

Найти:

а) неизвестную вероятность p;

б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = x²+2 .

6. Вероятность нормального расхода электроэнергии за день на предприятии бытового обслуживания равна 0,7. Какова вероятность того, что из 90 дней предприятие нормально расходует электроэнергию: а) в течение 60 дней; б) от 60 до 90 дней?