Вариант 2

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды a1, b1, c1, d1. Найдите:

а) длину ребра A₁B₁;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра A₁B₁;

г) уравнение грани A₁B₁C₁;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D₁ на грань A₁B₁C₁;

е) координаты векторов , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер A₁D₁ и B₁C₁ соответственно;

з) разложение вектора по базису ,

если A₁(-3, 1, 1), B₁(0, -4, -1), C₁(5, 1, 3), D₁(4, 6, -2).

2. Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

3. В туристической группе 15 человек, среди которых только 5 человек хорошо говорят по-английски. В Лондоне группу случайным образом расселили в два отеля (3 человека и 12 человек соответственно). Вычислить вероятность того, что из членов группы в первом отеле: а) все туристы хорошо говорят по-английски; б) только один турист хорошо говорит по-английски.

4. Покупатель может приобрести нужный ему товар в двух магазинах. Вероятности обращения в каждый из двух магазинов зависят от их местоположения и соответственно равны 0,3 и 0,7. Вероятность того, что к приходу покупателя нужный ему товар не будет распродан, равна 0,8 для первого магазина и 0,4 для второго. Какова вероятность того, что покупатель приобретет нужный ему товар?

5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X	–2	–1	0	1	2	3	4
p	0,04	0,08	0,32	0,31	0,15	0,08	p

Найти:

а) неизвестную вероятность p;

б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = x² – 1.

6. Установлено, что предприятие бытового обслуживания выполняет в срок в среднем 60% заказов. Какова вероятность того, что из 150 заказов, принятых в течение некоторого времени, будут выполнены в срок:

а) ровно 90 заказов; б) от 93 до 107 заказов.

Вариант 3

1. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды a1, b1, c1, d1. Найдите:

а) длину ребра A₁B₁;

б) косинус угла между векторами ;

в) уравнение ребра A₁B₁;

г) уравнение грани A₁B₁C₁;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D₁ на грань A₁B₁C₁;

е) координаты векторов , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер A₁D₁ и B₁C₁ соответственно;

з) разложение вектора по базису ,

если A₁(1, 1, 4), B₁(2, 1, 2), C₁(1, -1, 2), D₁(6, -3, 8).

2. Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

3. В упаковке 12 одинаковых книг. Известно, что каждая третья книга имеет дефект обложки. Случайным образом выбирают 3 книги. Вычислите вероятность того, что среди них: а) все книги имеют дефект обложки; б) только одна книга имеет этот дефект.

4. Два контролёра производят оценку качества выпускаемых изделий. Вероятность того, что очередное изделие попадет к первому контролеру, равна 0,55; ко второму контролеру – 0,45. Первый контролёр выявляет дефект с вероятностью 0,8, а второй – с вероятностью 0,9. Вычислите вероятность того, что изделие с дефектом будет признано годным к эксплуатации.

5. Задан закон распределения дискретной случайной величины X:

X	–2	–1	0	1	2	3	4
p	0,42	0,23	p	0,10	0,06	0,03	0,01

Найти:

а) неизвестную вероятность p;

б) математическое ожидание M, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение  данной случайной величины;

в) функцию распределения F(x) и построить её график;

г) закон распределения случайной величины Y, если её значения заданы функциональной зависимостью y = -2x + 1.

6. Известно, что в данном технологическом процессе 10% изделий имеют дефект. Какова вероятность того, что в партии из 400 изделий:

а) не будут иметь дефекта 342 изделия;

б) будут иметь дефект от 30 до 52 изделий.