2.1. Перевод чисел в смешанных системах

Для перевода из двоичной в восьмеричную и наоборот, из двоичной в шестнадцатеричную и наоборот, из восьмеричной в шестнадцатеричную и обратно, используется таблица следующего вида:

ОСНОВАНИЕ СИСТЕМЫ
10	2	8	16
0	0	000	0000
1	1	001	0001
2	—	010	0010
3	—	011	0011
4	—	100	0100
5	—	101	0101
6	—	110	0110
7	—	111	0111
8	—	—	1000
9	—	—	1001
10	—	—	1010
11	—	—	1011
12	—	—	1100
13	—	—	1101
14	—	—	1110
15	—	—	1111

При переводе в восьмеричную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в шестнадцатеричную или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы) или отбрасывать их.

Пример. Рассмотрим переводы в смешанных системах.

1. Из двоичной системы в восьмеричную (двоично-восьмеричное изображение):

2. из восьмеричной системы в двоичную (восьмерично-двоичное изображение):

3. из двоичной системы в шестнадцатеричную (двоично-шестнадцатеричное изображение):

4. из шестнадцатеричной системы в двоичную (шестнадцатерично-двоичное изображение):

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2₁₀ = 10₂ (единица идет в старший разряд).

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1.

3. Основы логики

Логика – наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств.

Алгебра в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами.

Алгебра логики — раздел математической логики, в котором изучаются логические операции над высказываниями. Объектами алгебры логики являются высказывания.

Высказывание – это любое предложение какого-либо языка (утверждение), содержание которого можно определить как истинное или ложное.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; ни одно высказывание не может быть одновременно и истинным, и ложным.

В естественном языке высказывания выражаются повествовательными предолжениями. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Высказывания могут выражаться с помощью математических, физических, химических и прочих знаков. Из двух числовых выражений можно составить высказывания, соединив их знаками равенства или неравенства.

Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама по себе не является высказыванием. Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами:

A = Аристотель – основоположник логики

B = На яблонях растут бананы

С = Дважды два – четыре

Истинному высказыванию ставится в соответствие значение 1 («истина», или «true»), ложному – значение 0 («ложь», или «false»). Таким образом, A = 1, B = 0, С = 1.

Обоснование истинности или ложности простых высказываний решается вне алгебры логики. Например, истинность или ложность высказывания: «Сумма углов треугольника равна 180 градусам» устанавливается геометрией, причем в геометрии Евклида это высказывание является истинным, а в геометрии Лобачевского – ложным.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Её интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Высказывание, состоящее из нескольких простых высказываний, называется составным (сложным). Простые высказывания соединяются в составные при помощи связок, или логических операций. Относительно составных высказываний также можно сказать, истинны они или ложны.

Значение логических операций задается через таблицы истинности. В этих таблицах для всех возможных значений операндов (в данном случае – высказываний) указываются результаты соответствующей логической операции.