Основные операции алгебры высказываний
Логическая операция ИНВЕРСИЯ (лат. inversio – переворачиваю) – операция логического отрицания (логическое НЕ). В естественном языке соответствует словам «Неверно, что…»; обозначается ¬, ¯, not.
Операция логического отрицания является унарной, то есть она применима только к одному операнду.
Таблица истинности инверсии (F = not A):
-
A
F = not A
0
1
1
0
Инверсия каждому простому высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, которое принимает значение, противоположное значению исходного операнда.
Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (лат. conjunctio – связываю) – операция логического умножения (логическое И). В естественном языке соответствует союзу «и»; обозначается &, , and.
Операция логического умножения применяется к двум операндам, то есть является бинарной.
Таблица истинности конъюнкции (F = A and B):
-
A
B
F = A and B
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Конъюнкция – это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.
Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (лат. disjunctio – различаю) – операция логического сложения (логическое ИЛИ). В естественном языке соответствует союзу «или»; обозначается V, +, or.
Операция логического сложения также является бинарной.
Таблица истинности дизъюнкции (F = A or B):
-
A
B
F = A or B
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
Дизъюнкция – это логическая операция, которая каждым двум простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, которое является ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.
Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (лат. implicatio – тесно связываю) – операция логического следования. В естественном языке соответствует обороту «следовательно», «если …, то …»; обозначается →, imp.
Таблица истинности импликации (F = A imp B):
-
A
B
F = A imp B
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Импликация – это бинарная логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, которое является ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.
Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (лат. aequivalens – равноценное) – операция логической равнозначности. В естественном языке соответствует оборотам речи «тогда и только тогда, когда …» и «в том и только в том случае, если …»; обозначается ↔, ~, eqv.
Таблица истинности эквиваленции (F = A eqv B):
-
A
B
F = A eqv B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
Эквиваленция – это бинарная логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или одновременно ложны.
Логическая операция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ – операция сложения по модулю два. Это операция применяется к двум операндам и является остатком от деления на два суммы операндов. Обозначается
;
xor.
Таблица истинности логической операции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (F = A xor B):
-
A
B
F = A xor B
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ – это бинарная логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания не равны друг другу.
В алгебре логики доказано, что любую логическую функцию можно выразить только через комбинацию логических операций И, ИЛИ, НЕ.
Логические операции имеют следующий приоритет:
действия в скобках;
инверсия,
конъюнкция,
дизъюнкция,
импликация,
эквиваленция.
Пример. Определите истинность простых высказываний:
A = Принтер – устройство вывода информации,
B = Процессор – устройство хранения информации,
C = Монитор – устройство вывода информации,
D = Клавиатура – устройство обработки информации.
Затем определите истинность составного высказывания: (not A and not B) and (C or D).
Решение. На основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: A=1, B=0, C=1, D=0.
Определим истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций:
(not 1 and not 0) and (1 or 0) = (0 and 1) and (1 or 0) = 0 and 1 = 0.