5.2. Модель експлуатації лісового господарства

Фірма планує засадити лісом нову ділянку землі. Дерево, повалене на початку відрізка k (k відраховується з моменту посадки дерева), за оцінкою фірми приносить чистий прибуток одиниць ( ). Припустимо, що витрати на посадку та утримання лісу дуже малі у порівнянні з витратами на валку та транспортування дерев на початку відрізка k. Всі дерева повинні бути вирубані одночасно. Таким чином, поступає на початку відрізка k, а k = 1 відповідає поточному відрізку, тобто відрізку, на якому починаються лісонасадження.

Нескінчений плановий період. Розглянемо, що вийде, якщо на наступному відрізку після валки лісу знов проводяться лісонасадження, причому такий процес повторюється нескінченне число разів. Якщо кожного разу валка лісу виконується на початку k-го відрізку після посадки, інтегральний дисконтова ний ефект послідовного ряду прибутків протягом нескінченого планового періоду дорівнює:

(5.4)

тому

(5.5)

Оптимальною для нескінченого планового періоду є така стратегія, за якої максимізується величина . Позначимо максимальне значення через , причому значення можна знайти з (5.6):

(5.6)

оскільки визначається по формулі (5.5). Безпосереднім наслідком (5.6) є (5.7):

(5.7)

або, що є еквівалентним цьому,

(5.8)

причому строга рівність в (5.7) та (5.8) дотримується тільки для оптимальної стратегії. У свою чергу це показує на те, що значення повинно задовольняти умові

(5.9)

Нехай з (5.6) слідує, що оптимальним є , і, нехай, далі, послідовність

(5.10)

Тоді на основі нерівностей (5.10) для можна побудувати такі умови:

(5.11)

Значення можна знайти, вираховуючи величину співвідношення у правій частині умов (5.11) – почавши з k = 1 та закінчивши розрахунки, як тільки це співвідношення стане меншим ніж . Для кожного k значення цього співвідношення буде перевищувати , котре вираховується при знаходженні К. Отже,

(5.12)

це значить, що зазвичай при нескінченому плановому періоді ліс валять частіше, ніж при одноразовому прийнятті рішення про валку.

Якщо при використанні (5.11) , то нерівності можна переписати у наступному вигляді:

(5.13)

Це означає, що стратегія, яка ґрунтується на , дає найбільший середній ефект за відрізок.

5.3. Методи послідовних наближень

У цьому розділі розглянемо чисельні методи рішення екстремальних рівнянь, що виникають в моделях динамічного програмування з нескінченим плановим періодом. У якості вихідного прототипу використовуємо функціональне рівняння:

(5.14)

Теорема про довжину планового періоду для моделі відновлення. Існує таке кінцеве значення , що для будь-якого кінцевого планового періоду довжиною відрізків, , виконуються наступні співвідношення:

(5.15)

(5.16)

З (5.15) слідує, що будь-яка стратегія , що є оптимальним поточним рішенням при достатньо великій довжині планового періоду ( ), одночасно є оптимальною стаціонарною стратегією для нескінченого планового періоду. Навпаки, (5.16) є зворотним ствердженням. Виконавши за визначеною схемою розрахунки у відповідності до моделі з кінцевим плановим періодом (5.17), можна знайти значення :

(5.17)

Подробиці такого підходу не мають відношення до мети цього обговорення й тому відкидаються.