Розділ 3 алгоритми рішення сітьовИх задач

1. Основні положення

2. Найкоротший маршрут на ациклічній мережі

3. Mаксимальний потік у мережі з обмеженими пропускними здатностями

4. Рішення задачі про призначення

3.1. Основні положення

Почнемо з обговорення класичної транспортної моделі, тобто з наступної задачі лінійного програмування:

мінімізувати (3.1)

при обмеженнях

, i = 1, 2, …, m (3.2)

, j = 1, 2, …, n, (3.3)

при всіх i та j, (3.4)

де всі S_i та D_i – ненегативні цілі числа, що задовольняють умові

(загальні постачання = загальний попит). (3.5)

Користуючись досить простими прийомами, можна перетворити численні оптимізаційні задачі на мережах в еквівалентну класичну транспортну задачу.

Якщо врахувати співвідношення (3.2), (3.3) і (3.5), то буде очевидним, що модель містить надлишкове обмеження: якщо будь-які m + n – 1 обмежень (3.2) і (3.3) задовольняються, то обмеження, що залишилося, також задовольняється. [Це можна строго показати, помноживши кожне з обмежень (33.) на –1, а потім склавши будь-які m + n – 1 обмежень і використовуючи умову (3.5) для спрощення констант у правій частині. Одержуване у підсумку рівняння тотожне обмеженню, що залишилося.] Отже, кожне з рівнянь попиту і постачань (3.2) або (3.3) можна без вагань опустити. У підсумку маємо модель, що містить m + n – 1 незалежних обмежень, внаслідок чого у будь-яке базисне рішення входить саме таке число базисних перемінних.

Легко показати, що відповідна двоїста задача лінійного програмування записується так:

максимізувати (3.6)

при обмеженнях за усіх (i, j), (3.7)

де величини v_i і w_i не обмежені за знаком.

Відшукуються найкоротші маршрути з усіх вузлів у кінцевий вузол r. Зокрема, для визначення найкоротшого шляху для будь-якого вузла s знаходять дугу (s, t), для якої y_s – y_t = c_st. Алгоритм гарантує, що є принаймні одна така дуга. Аналогічно у вузлі t знаходять дугу (t, u), таку, що у_t – у_u = с_tu. Продовжуючи рухатися по мережі подібним чином, знаходять маршрут, що приводить у кінцевому рахунку у вузол r. Відзначимо, що значення y_k дорівнює довжині найкоротшого маршруту з вузла k у вузол r. Хоча кожне значення у_k визначене однозначно, з вузла k може розпочинатися більш одного найкоротшого маршруту.

Приклад. Алгоритм ілюструється на прикладі мережі, приведеної на рис. 3.1. Це та ж мережа, що була показана на рис. 2.2. Будемо відшукувати найкоротші шляхи у вузол 1 з усіх інших вузлів. Наочніше всього роботу алгоритму можна простежити, виконуючи обчислення безпосередньо на мережі. Змалюйте мережу, показану на рис. 3.1, на окремий лист або робіть записи олівцем прямо на кресленні у книзі.

Кінцевий пункт

Рис. 3.1. Приклад задачі про найкоротший маршрут

Почнемо обчислення, проставивши 0 біля вузла 1 та символ ∞ біля всіх інших вузлів. Можна виконувати обчислення у різному порядку. Один з них є таким:

с₄₁ + у₁ = 2 + 0 < ∞ = y₄, тому приймемо y₄ = 2,

з₃₄ + у₄ = 1 + 2 < ∞ = y₃, тому приймемо y₃ = 3,

з₆₄ + у₄ = 5 + 2 < ∞ = y₆, тому приймемо y₆ = 7,

с₅₄ + у₄ = 1 + 2 < ∞ = y₅, тому приймемо y₅ = 3,

з₆₅ + у₅ = 3 + 3 < 7 = y₆, тому приймемо y₆ = 6,

з₈₅ + у₅ = 6 + 3 < ∞ = y₈, тому приймемо y₈ = 9, (3.8)

с₂₃ + у₃ = 3 + 3 < ∞ = y₂, тому приймемо y₂ = 6,

з₇₃ + у₃ = 5 + 3 < ∞ = y₇, тому приймемо y₇ = 8,

з₇₂ + у₂ = 1 + 6 < 8 = y₇, тому приймемо y₇ = 7,

с₈₇ + у₇ = 1 + 7 < 9 = y₈, тому приймемо y₈ = 8.

При обчисленні нового значення кожної величини y_k по формулах (3.8) потрібно обов’язково проставляти знайдене значення у вузла k на рисунку. Маємо

у₁ = 0, у₂ = 6, у₃ = 3, у₄ = 2,

у₅ = 3, у₆ = 6, у₇ = 7, у₈ = 8. (3.9)

Необхідно обов’язково переконатися в тому, що значення перемінних у (3.9) тепер задовольняють умові

для всіх дуг мережі. Тоді обчислення закінчуються. На мал. 3.2 значення у_k проставлені в квадратах у кожного кута, а дуги, що належать найкоротшим шляхам, виділені жирними лініями.