- •Практическая работа № 1 установление закона изменения случайных величин по результатам опыта
- •1. Основные понятия и определения теории вероятностей и математической статистики
- •II. Методика построения эмпирической кривой вычисление ее параметров и характеристик
- •1. Построение эмпирической кривой
- •2. Техника вычислений параметров эмпирического распределения
- •А) Значения выборки заданы однозначными или двухзначными величинами. Объем выборки n 25
- •Б) Значения выборки заданы многозначными величинами. Объем выборки n 25
- •В) Результаты эксперимента заданы выборкой небольшого объема. Объем выборки n 25
- •Методика определения поля допуска по эмпирическому распределению
- •4. Вычисление коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеивания
- •А) Поле допуска задано и изменению не подлежит.
- •Б) Поле допуска не задано
- •5. Критерии для непринятия резко выделяющихся наблюдений (ошибок измерения)
- •6. Функции плотности теоретических и эмпирических распределений
- •Подбор теоретической функции для эмпирического распределения
- •2. Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим
- •7. Сравнение эмпирических и теоретических функций распределения частот по критериям согласия
- •А) Критерий согласия Пирсона
- •Б) Критерий Колмогорова
- •Практическая работа № 2 установление вида зависимости между двумя переменными величинами
- •Функциональная зависимость
- •Корреляционная зависимость
- •Определение коэффициента корреляции по выборка большого объема
- •Приложения
- •Плотность вероятности нормального распределения
- •Значение функции
Практическая работа № 2 установление вида зависимости между двумя переменными величинами
Иногда необходимо выяснить вид зависимости между двумя переменными величинами, которая может быть функциональной или стохастической.
Функционально зависимыми являются такие величины, у которых каждому значению одной величины соответствует вполне определенное (чаще всего одно) значение другой величины (величина износа резца от времени, зависимость давления от температуры, величина погрешности размера изделия от температуры, свойства сплавов от процентного содержания в нем того или другого элемента и др.).
Стохастически зависимыми называются такие величины, у которых различным значениям одной величины соответствуют различные законы распределения другой величины. Частным случаем стохастической зависимости является коррелятивная зависимость. Она появляется в том случае, когда каждому значению одной величины соответствуют различные средние значения другой величины (размеры изделий обрабатываемых одновременно на одном станке, одним инструментом, в одном приспособлении и др.).
Остановимся на выравнивании эмпирических данных по некоторым видам функциональных зависимостей и на методике определения коэффициента корреляции при коррелятивной зависимости.
Для установления вида функциональной зависимости эксперимент проводится таким образом, что для каждого значения одного признака (независимое переменное х) определяется значение другого признака (зависимого переменного y ), а результаты заносятся в таблицу вида
№ |
1 |
2 |
3 |
... |
n |
Температура xi |
xi |
x2 |
x3 |
... |
xn |
Размер изделия yi |
yi |
y2 |
y3 |
... |
yn |
По этим данным строится график зависимости между величинами х и y. Полученную ломаную линию выравнивают по наиболее близкой к ней теоретической кривой.
Функциональная зависимость
Требуется найти функцию у=f(x), значения которой при возможно меньше отличались бы от эмпирических значений . В основу решения положен принцип Лежандра, по которому сумма квадратов отклонений эмпирических значений y от уi определяемых по формуле, должна быть наименьшей. Так как большинство функций может быть представлено в виде многочлена n-й степени, то при выравнивании целесообразно представлять зависимость между переменными величинами в виде параболы n-й степени:
y = a + ax + ax + ...+ anxn ,
где a, a, a,..., an - неизвестные параметры. Для их нахождения воспользуемся интерполяционной формулой Чебышева [*], которая имеет вид: y = kq(x) + k1q1(x) + k2q2(x) + ...+ kq(x). Здесь величина характеризует порядок параболы; - число значений независимой переменной. В этой формуле аргументом является величина , где .
Последовательность вычисления и способы определения входящих в интерполяционную формулу коэффициентов покажем на примере (см. табл. 13).
Таблица 13
№ |
Функ-ция уi |
Аргу-мент иi |
у2i |
|
уixi |
x2i |
x2i yi |
x3i |
x4i |
x3i yi |
x5i |
x6i |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
2 10 17 33 51 66 96 120 172 |
1 3 4 6 7 8 10 11 13
|
4 100 289 1089 2601 4356 9216 14400 29584 |
-6 -4 -3 -1 0 +1 +3 +4 +6 |
-12 -40 -51 -33 0 +66 +288 +480 +1032 |
36 16 9 1 0 1 9 16 36
|
72 160 153 33 0 66 864 1920 6192
|
-216 -64 -27 -1 0 1 27 64 216
|
1296 256 81 1 0 1 81 256 1296
|
-482 -640 -459 -33 0 66 2592 7680 37152
|
-7776 -1024 -243 -1 0 1 729 4096 46656
|
46656 4096 729 1 0 1 729 4096 46656
|
2,9 9,6 16,3 35,6 48,5 63,5 99,8 121,2 170,3
|
2,1 13,1 20,6 37,7 48,4 61,2 95,3 117,6 175,3
|
Сумма |
567 |
63 |
61639 |
|
1730 |
124 |
9460 |
0 |
3268 |
-1564 +47490 45926 |
0 |
102964 |
|
|
О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы н у л е в о й с т е п е н и
Находим и заносим ее в конце колонки 2 (табл. 13).
Определяем величину . Она равна .
Для уравнения параболы нулевого порядка .
Находим уравнение параболы нулевого порядка
.
Определяем основную ошибку. Для этого находим и заполняем колонку 4. Вычисляем, что . Находим величину .
Основная ошибка равна
.
О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы п е р в о г о п о р я д к а
Вычисляем .
Вычисляем .
Заполняем колонку 5, вычисляя значения .
Заполняем колонку 6, вычисляя произведения и находим.
Заполняем колонку 7, вычисляя и находим
Вычисляем уравнение параболы первой степени.
Вычисляем
Для параболы 1-го порядка величина . Поэтому .
Складываем .
Искомое выражение .
Вычисляем основную ошибку
Так как значительно превосходит , то необходимо продолжить интерполирование.
О п р е д е л е н и е п а р а б о л ы в т о р о г о и т р е т ь е г о п о р я д к а
Вычисляем произведение , заполняем колонку 8 и находим, что 9460.
Вычисляем , заполняем колонку 9 и находим, что .
Вычисляем , заполняем колонку 10 и находим, что .
Вычисляем величины
.
.
Вычисляем величину,
Складываем и получаем уравнение параболы второго порядка
Вычисляем основную ошибку
;
Если полученное значение считать достаточно малым, то можно ограничиться вычислением параболы 2-го порядка. После этого необходимо перейти от аргумента к аргументу u, подставив в уравнение параболы 2-го порядка x=u - 7.
Тогда окончательно получим
или
Для примера выполним вычисление параболы 3-го порядка.
Вычисляем произведения , заполняем колонку 11 и находим = 45926.
Вычисляем , заполняем колонку 12 и находим, что .
Вычисляем , заполняем колонку 13 и находим, что .
Вычисляем выражения
;
;
;
;
.
Определяем
;
; .
Вычисляем уравнение параболы 3-го порядка
.
Вычисляем основную ошибку
;
Так как , то, следовательно, выравнивание по параболе 3-го порядка дает несколько лучшее приближение. Величина мало отличается от и поэтому дальнейшее увеличение порядка параболы нецелесообразно.
Следует также отметить, что в практических случаях параболы выше 3-го порядка встречаются очень редко и дают практически несущественное уменьшение основной ошибки.
Выразим аргумент х функции через аргумент . Для этого вместо х подставим как и ранее ( ) в
В колонках 14 и 15 приведены выровненные значения у, высчитанные по параболам 2-й и 3-й степени.