Корреляционная зависимость
Пусть имеем две случайные величины х
и y с
заданными математическими ожиданиями
MX и MY и средними квадратическими
отклонениями
и
.
Величина
(а)
носит название ковариации.
Пронормируем случайные величины Х и Y, т.е. перейдем к новым случайным величинам X' и Y', математические ожидания которых равны нулю, а дисперсии-единице. Тогда
cov(X' Y') нормированных случайных величии X' и Y' называется коэффициентом корреляции,
т.е. 
(b)
или
.
Коэффициент корреляции указывает на
тесноту связи между двумя случайными
величинами и изменяется от -1 до +1. При
прямой линейной зависимости, т. е. когда
с возрастанием значений
,
увеличиваются значения
.
При обратной линейной зависимости, т.
е. когда с возрастанием значений
, значения
уменьшаются
.
Если х и у
независимы, то
=
0.
При
каждому значению
соответствует несколько значений
.
Условным средним
называется среднее значение из величин
при данном значении
.
Условным средним
называется среднее значение из величин
при данном значении
.
Две линии, соединяющие все значения
и
,
называются линиями регрессии.
Коэффициент корреляции
,
когда с увеличением значений
значения условных средних
увеличиваются.
Коэффициент корреляции
,
когда с увеличением значений
значения условных средних
уменьшаются.
Если линиями регрессии являются прямые линии, то корреляция называется прямолинейной.
Ниже ограничимся рассмотрением только прямолинейной корреляции.
Теоретическое вычисление коэффициента корреляции по формуле (b) в большинстве случаев вызывает много трудностей. Поэтому для его определения обычно пользуются результатами экспериментальных данных.
О п р е д е л е н и е к о э ф ф и ц и е н т а к о р р е л я ц и и п о в ы б о р к е н е б о л ь ш о г о о б ъ е м а
Для выборки небольшого объема коэффициент корреляции удобно определять но формуле:
, (с)
где *
- эмпирический коэффициент корреляции.
Приведем пример.
Пусть необходимо выявить наличие
корреляционной связи между размерами
моделей и отливок к ним. Путем измерений
определены отклонения от номиналов
высот моделей для 11 образцов
и
отливок
.
Последовательность вычислений ясна из
табл. 14.
Таблица 14
Номер образца |
|
|
|
|
|
1 |
0,90 |
-0,30 |
-0,2700 |
0,8100 |
0,0900 |
2 |
1,22 |
0,10 |
0,1220 |
1,4889 |
0,0100 |
3 |
1,32 |
0,70 |
0,9240 |
1,7424 |
0,4900 |
4 |
0,77 |
-0,28 |
-0,2156 |
0,5929 |
0,0784 |
5 |
1,30 |
-0,25 |
-0,3250 |
1,6900 |
0,0625 |
6 |
1,20 |
0,02 |
0,0240 |
1,4400 |
0,0004 |
7 |
1,32 |
0,37 |
0,4884 |
1,7424 |
0,1369 |
8 |
0,95 |
-0,70 |
-0,6650 |
0,9025 |
0,4900 |
9 |
1,45 |
0,55 |
0,7975 |
2,1025 |
0,3025 |
10 |
1,30 |
0,35 |
0,4550 |
1,6900 |
0,1225 |
11 |
1,20 |
0,32 |
0,3840 |
1,4400 |
0,1024 |
Сумма
|
12,93 |
0,88 |
1,7193 |
15,6411 |
1,8856 |
Подставим найденные суммы в (с)
