9. Обратная матрица

Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.

• Если при умножении квадратных матриц _и в любом порядке получается единичная матрица ( _{), то матрица} называется обратной матрицей для квадратной матрицы , а _{матрица - обратная для матрицы .}

Обозначается обратная матрица _{, то есть .}

Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как . Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается _.

Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был не равен нулю.

Правило нахождения обратной матрицы

0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.

1) Вычисляем определитель матрицы : если он не равен нулю, то обратная матрица существует: _{; если равен нулю, то обратной матрицы нет.}

2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение .

3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем: _.

4) Каждый элемент матрицы делим на определитель : _{Получаем матрицу, обратную данной.}

10. Нахождение обратной матрицы для матриц второго порядка

Пример 10. Дана матрица . Найти обратную матрицу.

Решение.

Проверка. Убедимся, что найдена действительно обратная матрица. Найдем произведение матриц и .

11. Свойства обратной матрицы

1. , где А и В – невырожденные квадратные матрицы одинакового порядка.

2. .

3. .

4. .

Контрольные вопросы

1. Дайте определение матрицы и укажите ее виды.

1. Как проводятся линейные операции над матрицами - сложение матриц, умножение на число?

2. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?

3. Как умножить матрицу на матрицу? Запишите условие, которому должны удовлетворять первая и вторая матрицы-сомножители.

2. Как найти любой элемент произведения матриц?

4. Даны матрицы . При каких условиях на определены матрицы ?

5. Запишите свойства суммы и произведения матриц.

6. Какая матрица называется транспонированной к данной? Составьте матрицу и транспонируйте ее. Какова ее размерность? Запишите свойства операции транспонирования.

7. Какая матрица называется единичной? Нулевой? Приведите примеры.

8. Запишите элементы матрицы и элементы матрицы .

9. Что называется определителем второго порядка?

10. Как вычислить определитель третьего порядка?

11. Как вычислить определитель 3 порядка по правилу треугольников?

12. Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Приведите примеры для определителей 2 и 3 порядков.

13. Напишите разложения определителя третьего порядка по элементам произвольной строки и произвольного столбца.

14. Сформулируйте основные свойства определителей.

15. В каком случае определители равны нулю? Приведите примеры.

16. Представьте определитель в виде суммы двух определителей.

17. Заполните пропущенные места так, чтобы значения определителей были одинаковы: и .

18. Запишите определитель третьего порядка треугольного вида. Как его вычислить?

19. Какая матрица называется обратной для данной матрицы?

20. Для любой ли квадратной матрицы существует обратная?

21. Пусть . Будут ли матрицы и взаимно обратными?

22. При каких значениях параметра существует матрица, обратная матрице ?

23. Запишите формулу для нахождения обратных матриц 2 и 3 порядков.

24. Сформулируйте правило нахождения обратной матрицы.