10

Модуль 1. Линейная алгебра Лекция 1. Матрицы и определители

1. Матрицы и их виды

2. Действия с матрицами

3. Свойства действий с матрицами

4. Определители второго порядка

5. Определители третьего порядка

6. Алгебраические дополнения и миноры

7. Разложение определителя по строке или столбцу

8. Свойства определителей

9. Обратная матрица

10. Свойства обратной матрицы

1. Матрицы и их виды

Матрицей размерности называется таблица чисел, расположенных в строках и столбцах:

,

Матрицы обозначаются латинскими буквами А, В, С, …

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.

Каждый элемент имеет два индекса - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент .

Для матриц используют обозначение или , .

Пример 1. Матрицы

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов ( ₎, называется квадратной, иначе матрица называется прямоугольной. Элементы квадратной матрицы , для которых , называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, - главной диагональю.

Примеры матриц различных видов:

Верхняя треугольная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0:	Нижняя треугольная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие выше главной диагонали, равны 0:
Диагональная – квадратная матрица, у которой все элементы, кроме диагональных, равны 0:	Единичная – квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны , а остальные элементы равны :
Матрица-столбец: .	Матрица-строка: .

2. Действия с матрицами

1. Равенство матриц.

Матрица называется равной матрице , если они одинаковой размерности и их соответствующие элементы равны.

2. Транспонирование матриц.

Если в матрице строки записать в виде столбцов с теми же номерами, то получим матрицу, транспонированную матрицу . Она обозначается .

Пример 2. Дана матрица . Получить матрицу .

Решение.

3. Сложение матриц.

Суммой матриц и одинаковой размерности называется матрица такой же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и : .

4. Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы на число называется матрица той же размерности, у которой каждый элемент равен произведению элементов на число : .

Пример 3. Дана матрица . Найти , если .

Решение. _.

Матрица называется противоположной для матрицы .

5. Вычитание матриц.

Разностью матриц одинаковой размерности А и В называется матрица D той же размерности, элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц А и В:

6. Умножение матриц.

Произведением матрицы на матрицу называется матрица , удовлетворяющая следующим условиям:

1. матрица существует, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя ;

1. элемент матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки матрицы на элементы -ого столбца матрицы :

;

3) число строк матрицы равно числу строк матрицы , а число столбцов матрицы равно числу столбцов матрицы .

Порядок умножения матриц А и В очень важен. Число столбцов ( ) первого множителя должно равняться числу строк второго множителя. Вообще говоря, .

Пример 4. Даны матрицы и . Найти произведение .

Решение.

№ строки № столбца

, и так далее.

,

,

,

.

Итак, матрица .

Операции деления для матриц нет.