Завдання для контрольної роботи
Варіант 1.
1 . Знайти область визначення функції
2 . Обчислити повний диференціал для функції
f(x;y)=
Задача1. Площа бічної поверхні кругового конуса рівна S, довжина твірної L. Виразіть об'єм V конуса як функцію S та L. Найти і зобразити область визначення цієї функції.
Варіант 2.
1. Знайти область визначення функції
2 . Обчислити повний диференціал
для функції f(x;y)
=
Задача . Периметр земельної ділянки трикутної форми рівний 2р. Дві його сторони рівні відповідно х і у Виразіть площу дільниці як функцію х і у. Найти і зобразити область визначення функції S = S(х, у).
У
х
у
О Х
Варіант 3.
1 . Знайти
область визначення функції
2 . Обчислити повний диференціал для функції
Задача . Земельна дільниця має форму рівнобедреної трапеції, основи і бічна сторона якої рівні відповідно х, у і z. Виразіть площу S дільниці як функцію його сторін. Знайти і зобразити область визначення цієї функції.
Варіант 4.
1
. Знайти область визначення функції
2 . Обчислити повний диференціал
для функції
Задача . Шатро даного об’єму V має форму циліндра з насадженою на нього конічною верхівкою. Виразити площу S поверхні шатра як функцію його висоти Н і радіуса основи R.
Варіант 5.
1.
Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . Витрати
води через отвір прямокутної форми в
стінці резервуара визначається формулою
де h0 і h відстані верхнього і нижнього країв отвору від дзеркала води,( м). Виразіть h через h0 і Q. Складіть таблицю значень h при = 0,62, b = 1 м, g = 9,81 м/с2, м, = 1 м, 10 , 1 .
Варіант 6.
1. Знайти
область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . Витрати води у водопровідній трубі розраховують по формулі
де Q - витрати води, л/c; d - діаметр труби, см; v - швидкість течії, см/с. Складіть таблицю значень Q при
Варіант 7.
1. Знайти область
визначення функції
2 . Обчислити повний диференціал
для функції
Задача . Як зміниться повна поверхня закритого циліндричного бака з радіусом основи 2 м і висотою 10 м, якщо радіус основи збільшити на 1 см, а висоту на 3 см?
Варіант 8.
1.
Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . На скільки треба подовжити радіус R = 30 см кругового сектора з центральним кутом =80 , щоб компенсувати зміну площі при зменшенні кута на 15 ' ?
Варіант 9.
1.
Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . Циліндрична склянка має внутрішні розміри: радіус основи R = 2,5 м, висота Н = 4 м, і товщина стінок 1 дм. Знайти приблизно об'єм матеріалу, затраченого на виготовлення склянки.
Варіант 10.
1.
Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . Постамент має форму зрізаного конуса, висота якого Н = 3 м, а радіуси основ R = 2м і r = 1м. Як приблизно зміниться його об'єм, якщо R збільшити на 2 дм, r на 3 дм і Н зменшити на 1 дм?
Варіант 11.
1. Знайти
область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . Канал, що підводить воду до турбіни, має в перетині рівнобедрену трапецію, площа якої рівна Q. Визначити глибину каналу Н і кут укосу так, щоб його змочений периметр був найменшим.
Варіант 12.
1.
Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . З прямокутного листа жерсті шириною а (мал. 64, а) виготувати жолоб призматичної форм
и так, щоб його поперечний перетин мав найбільшу площу.
Варіант 13.
1. Знайти
область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача . Відкритий ящик має форму прямокутного паралелепіпеда із заданою товщиною стінок і об’емом V. Якими повинні бути зовнішні розміри ящика, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?
Варіант 14.
1. Знайти
область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача. При яких розмірах прямокутного басейну даної місткості V на облицювання його стін і дна буде потрібна найменша кількість матеріалу? Знайти площу облицювальної поверхні.
Варіант 15.
1. Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для
функції
Задача 15. Вартість споруди 1 м2 фасаду будинку рівна р, інших стін q, даху r. Визначити при яких співвідношеннях довжини х, ширини у і висоти z по фасаду при даній кубатурі загальна вартість споруди всіх стін і даху (разом з верхнім перекриттям) будівлі, що описується формулою буде найменшої.
Варіант 16.
1. Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для функції f(x;y)=
Задача. Робота деформації рами виражається формулою
де Р постійне навантаження, N, Н вертикальна і горизонтальна реакції опори, L довжина, Е модуль пружності, J момент інерції. Якими повинні бути N і Н, щоб робота А була найменшої?
Варіант 17.
1. Знайти
область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для функції f(x;y) =
Задача. Річні витрати підприємства можуть бути виражені функцією
де a, b, з, c1, c2 постійні. При яких значеннях х1, х2 витрати підприємства будуть мінімальними?
Варіант 18.
1.
Знайти область визначення функції
2 . Обчислити повний диференціал для функції
Задача. Для трасування водопровідної магістралі з різними діаметрами труб на різних дільницях водопроводу можна користуватися функцією де l1, l2, …, ln довжини окремих
дільниць водопроводу; d1, d2, …, dn відповідні діаметри, які пов'язані співвідношенням Визначити найбільш вигідні діаметри d1, d2, …, dn труб.
Варіант 19.
1. Знайти область визначення функції
2. Обчислити повний диференціал для функції
Задача. У процесі дослідження залежності витрати води в деякому перетині каналу від його глибини при постійній середній швидкості течії отримані наступні дані:
h, м |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
Q, м3/с |
0,43 |
0,73 |
1,15 |
1,76 |
2,30 |
Користуючись методом найменших квадратів, вивести емпіричну формулу залежності витрати води від глибини каналу, тобто отримати функцію вигляду
Варіант 20.