Завдання для практичної роботи

Задача 1. Площа бічної поверхні кругового конуса рівна S, довжина твірної L. Виразіть об'єм V конуса як функцію S та L. Найти і зобразити область визначення цієї функції.

Задача 2. Периметр земельної ділянки трикутної форми рівний 2р. Дві його сторони рівні відповідно х і у Виразіть площу дільниці як функцію х і у. Найти і зобразити область визначення функції

S = S(х, у).

У

у

0 х Х

Задача 3. Земельна дільниця має форму рівнобедреної трапеції, основи і бічна сторона якої рівні відповідно х, у і z. Виразіть площу S дільниці як функцію його сторін. Знайти і зобразити область визначення цієї функції.

Задача 4. Шатро даного об’єму V має форму циліндра з насадженою на нього конічною верхівкою. Виразити площу S поверхні шатра як функцію його висоти Н і радіуса основи R.

Задача 5. Витрати води через отвір прямокутної форми в стінці резервуара визначається формулою

де h₀ і h відстані верхнього і нижнього країв отвору від дзеркала води,( м). Виразіть h через h₀ і Q. Складіть таблицю значень h при = 0,62, b = 1 м, g = 9,81 м/с², м,  = 1 м, 10 , 1 .

Задача 6. Витрати води у водопровідній трубі розраховують по формулі де Q - витрати води, л/c; d - діаметр труби, см; v - швидкість течії, см/с. Складіть таблицю значень Q при

Задача 7.Як зміниться повна поверхня закритого циліндричного бака з радіусом основи 2 м і висотою 10 м, якщо радіус основи збільшити на 1 см, а висоту на 3 см?

Задача 8.На скільки треба подовжити радіус R = 30 см кругового сектора з центральним кутом =80 , щоб компенсувати зміну площі при зменшенні кута на 15 ' ?

Задача 9. Циліндрична склянка має внутрішні розміри: радіус основи R = 2,5 м, висота Н = 4 м, і товщина стінок 1 дм. Знайти приблизно об'єм матеріалу, затраченого на виготовлення склянки.

Задача 10. Постамент має форму зрізаного конуса, висота якого Н = 3 м, а радіуси основ R = 2м і r = 1м. Як приблизно зміниться його об'єм, якщо R збільшити на 2 дм, r на 3 дм і Н зменшити на 1 дм?

Задача 11. Канал, що підводить воду до турбіни, має в перетині рівнобедрену трапецію, площа якої рівна Q. Визначити глибину каналу Н і кут укосу так, щоб його змочений периметр був найменшим.

Задача 12. З прямокутного листа жерсті шириною а (мал. 64, а) виготувати жолоб призматичної форм

и так, щоб його поперечний перетин мав найбільшу площу.

Задача 13. Відкритий ящик має форму прямокутного паралелепіпеда із заданою товщиною стінок і об’емом V. Якими повинні бути зовнішні розміри ящика, щоб на його виготовлення пішла найменша кількість матеріалу?

Задача 14. При яких розмірах прямокутного басейну даної місткості V на облицювання його стін і дна буде потрібна найменша кількість матеріалу? Знайти площу облицювальної поверхні.

Задача 15. Вартість споруди 1 м² фасаду будинку рівна р, інших стін q, даху r. Визначити при яких співвідношеннях довжини х, ширини у і висоти z по фасаду при даній кубатурі загальна вартість споруди всіх стін і даху (разом з верхнім перекриттям) будівлі, що описується формулою буде найменшої.

Задача 16. Робота деформації рами виражається формулою

де Р постійне навантаження, N, Н вертикальна і горизонтальна реакції опори, L довжина, Е модуль пружності, J момент інерції. Якими повинні бути N і Н, щоб робота А була найменшої?

Задача 17. Річні витрати підприємства можуть бути виражені функцією

де a, b, з, c1, c2 постійні. При яких значеннях х1, х2 витрати підприємства будуть мінімальними?

Задача 18. Для трасування водопровідної магістралі з різними діаметрами труб на різних дільницях водопроводу можна користуватися функцією де l₁, l₂, …, ln довжини окремих дільниць водопроводу; d₁, d₂, …, dn відповідні діаметри, які пов'язані співвідношенням

Визначити найбільш вигідні діаметри d₁, d₂, …, dn труб.

Задача 19. У процесі дослідження залежності витрати води в деякому перетині каналу від його глибини при постійній середній швидкості течії отримані наступні дані:

h, м	0,6	0,8	1,0	1,2	1,4
Q, м3/с	0,43	0,73	1,15	1,76	2,30

Користуючись методом найменших квадратів, вивести емпіричну формулу залежності витрати води від глибини каналу, тобто отримати функцію вигляду

Задача 20. Тиск газу вимірюється двома приладами. Дані вимірів приладу І (у) і відповідне свідчення приладу II (х) приведені в таблиці

х	1,5	1,7	1,8	1,9	2,3	2,4	2,5	2,6	2,9
у	1,4	1,8	1,7	1,9	2,3	2,3	2,5	2,4	2,8

Методом найменших квадратів для приведених даних знайти емпіричну залежність

Задача 21.Лаборант проводить ряд експериментів по визначенню зв'язку між кількістю у хімічної речовини, що розчинилася у воді і температурою Т води. Отримані результати вказані в таблиці (температура Т для зручності позначена величиною х).

х	1	2	3	4	5
у	2,3	4,4	7,8	16,25	31,7

За допомогою методу найменших квадратів для приведених в таблиці даних перевірити емпіричну формулу у = , тобто знайти числове значення параметра а.

Задача 22. Методом найменших квадратів встановити параболічний закон залежності швидкості течії ріки (м/з) від відносної глибини , виходячи з результатів вимірювання, заданих таблицею

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
v	0,957	0,969	0,976	0,978	0,975	0,968	0,954	0,939	0,918

Відносна глибина - відношення глибини занурення даної точки до повної глибини ріки.

Задача 23. Для кованого заліза досліди дали наступну таблицю залежності зусилля різання Р від глибини різання а при подачі 1 мм:

а, мм	3	4	5	7	10
Р, кН	5,34	7,55	8,82	12,26	16,96

Користуючись методом вирівнювання, підібрати вдалу емпіричну формулу.

Задача 25. Внаслідок дослідження витікання рідини через щілину отримали наступну дану залежність коефіцієнта витрат μвід натиску Н:

	0,448	0,432	0,421	0,417	0,414	0,412
Н	0,164	0,328	0,636	0,984	1,312	1,640

Користуючись методом вирівнювання, встановити наближену залежність вигляду µ = а_о +

Задача 26. При випробуванні літака визначався загальний тиск р на крилі при різних швидкостях польоту v:

v, км/ч	50	100	150	200	250
р, кН	0,343	1,961	5,295	11,081	19,319

Користуючись методом вирівнювання, встановити наближену залежність вигляду р = сv^α.

Задача 27. Для м'якої сталі досліди дали наступну таблицю залежності питомого тиску різання k від поперечного перетину q стружки:

q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
k	218	203	197	193	190	188	186	185	184	183

Користуючись методом вирівнювання, знайти емпіричну формулу, що виражає приблизно залежність k від q. Формулу шукаємо у вигляді k = с q ^α .