§2. Похідні вищого порядку.

Частинними похідними 2-го порядку функції u = f(х₁,…,х _n) називаються частинні похідні від її частинних похідних першого порядку , і позначаються вони так :

Наприклад у випадку двох змінних частинні похідні другого порядку позначають так:

Аналогічно визначаються і позначаються частинні похідні порядку вищого ніж другий.

Принцип обчислень частинних похідних вищих (n ) порядків - полягає в послідовному обчисленні кожної наступної похідної з відомої попередньої похідної за правилами диференціювання функцій однієї змінної .

Якщо частинну похідну f 'x , продиференціювати по х , а частинну похідну f _y лродиференціювати ло у , отримаємо частинні похідні другого порядку ло х і у . Частіше за все їх позначають таким чином:

f_xx = f_xx (x; y) = ; f _yy = f _yy (x; y) = ;

Якщо ж частинну похідну f _x продиференціювати по у, а частинну похідну f _y продиференціювати по х, отримаємо ще одну пару частинних похідних другого порядку:

f _xy = f_xy (x; y ) = ; f _yx = f _yx (y; x ) =

Неважко довести ,що f _xy = f _yx тобто похідні вищих порядків будуть рівними між собою в тому випадку, якщо вони відрізняються тільки порядком взяття незалежних змінних.

Наприклад. Обчислити та для функції

Розв’язання

§3. Застосування частинної похідної в економіці

В реальних випадках попит на товар може залежати від багатьох факторів, тобто попит - це функція багатьох змінних. Припустимо, для визначеності, що попит на деякий товар Q залежить від ціни P, доходів споживачів Y та ціни альтернативного товару P_A . В загальному випадку попит на окремий товар при інших рівних умовах залежить від рівня цін всіх товарів. На практиці , однак, найбільша зацікавленість полягає в з’ясуванні впливу ціни якогось одного товару, який і називають альтернативним. Таким чином, попит - це функція трьх змінних. Q = f (P, P_A, Y)

Цікаво: як змінюється попит при зміні цін і доходів. Кількісна відповідь дається за допомогою поняття еластичності.

Е_Р - коефіцієнт еластичності ;

Формула еластичносиі попиту від ціни має вигляд:

Знак “мінус” використовується для того , щоб еластичність була додатною.

Якщо E _p< 1, то попит нееластичний ,тому сумарний доход буде спадаючою функцією.

Якщо E _p> 1 , то попит еластичний ,тому сумарний доход буде зростаючою функцією.

Аналогічно вводиться перехресний коефіцієнт еластичносиі: Формула еластичносиі попиту від ціни альтернативного товару має вигляд

Якщо E _A > 0, то товари взаємозамінні

Якщо E _A < 0, то товари взаємодоповнюючі

Е _{У -} еластичність попиту від прибутків

Формула еластичносиі попиту від прибутків має вигляд

E _Y > 0 , для якісних товарів , попит збільшується з зростанням прибутків

E _Y < 0 , для неякісних товарів, з зростанням прибутків попит зменшується

Наприклад: Знайти коефіцієнти еластичності Е_{Р ,}Е_А ,Е_У, для даної функції попиту Q = f (P, P _A, Y) = 100 - 2P + P _A + 0,1Y та обчислити знайдені еластичності при Р =10, Р_А = 12, У = 1000

Розвязання

Обчислимо величину попиту Q при даних значеннях змінних:

Q = f( 10,12,1000) =100 - 2 10 + 12 + 0,1 1000 = 192

Обчислимо частинну похідну по Р :

Обчислимо еластичність попиту від ціни:

Обчислимо частинну похідну по Р_{А :}

Обчислимо перехресний коефіцієнт еластичності :

E _A >0, тому товари взаємозамінні

Обчислимо частинну похідну по У :

Обчислимо еластичність попиту від прибутку :

E _Y >0 , тому з зростанням прибутків попит буде зростати.