6 Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений

Будем рассматривать задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений(ОДУ).Запишем систему в векторной форме

,

(6.1)

где: -искомая вектор-функция; t-независимая переменная; ; , m-порядок системы; координаты; t0; .

Запишем систему (6.1) в развернутом виде

,

(6.2)

где: i=1,...,m; .

В случае i=1 -это будет ОДУ 1-го порядка, а при i=2 - система из двух уравнений первого порядка.

В случае i=1 решение задачи Коши предполагает нахождение интегральной кривой, проходящей через заданную точку и удовлетворяющую заданному начальному условию.

Задача состоит в том, чтобы найти искомую вектор-функцию u, удовлетворяющую (6.1) и заданным начальным условиям.

Известны условия, гарантирующие существование и единственность решения (6.1) или (6.2).

Предположим, что функции ( ) непрерывны по всем аргументам в некоторой замкнутой области D={t }, где a,b-известные константы.

Из непрерывности функций следует их ограниченность, т.е. функции сверху ограничены некоторой константой М: | |<M (где М 0) всюду в области D и пусть в области D функции удовлетворяют условию Липшица по аргументам . Это значит, что

для любых двух точек и из области D. Тогда существует единственное решение задачи (6.1)

,определенное при

(6.3)

и принимающее при t=0 заданное начальное значение.

Существует два класса методов для решения задачи (6.1):

1) семейство одношаговых методов(Рунге-Кутта);

2) семейство многошаговых(m-шаговых) методов.

Сначала рассмотрим одношаговые методы. Для простоты возьмем одно уравнение

,

(6.4)

где: ; t>0.

По оси t введем равномерную сетку с шагом  , т.е. рассмотрим систему точек . Обозначим через точное решение (6.4) , а через приближенные значения функций u в заданной системе точек.

6.1 Семейство одношаговых методов решения задачи Коши

6.1.1 Метод Эйлера (частный случай метода Рунге-Кутта)

Уравнение (6.4) заменяется разностным уравнением

, n=0,1,2,…, .

В окончательной форме значения можно определить по явной формуле

.

(6.5)

Вследствие систематического накопления ошибок метод используется редко или используется только для оценки вида интегральной кривой.

Определение 1. Метод сходится к точному решению в некоторой точке t , если при , .

Метод сходится на интервале (0,t], если он сходится в любой точке этого интервала.

Определение 2. Метод имеет р-й порядок точности, если существует такое число р>0, для которого при , где: - шаг интегрирования; O-малая величина порядка .

Так как , то метод Эйлера имеет первый порядок точности. Порядок точности метода совпадает с порядком точности разностной аппроксимации исходного дифференциального уравнения.