1.2.4 Метод Ричардсона

Явный метод с переменным параметром t:

, (1.21а)

называется методом Ричардсона.

1.2.5 Метод верхней релаксации (обобщённый метод Зейделя)

, (1.21б)

где  - числовой параметр.

Если матрица А - симметричная и положительно определена, то последний метод сходится при (0 <  < 2). Последнюю формулу запишем в следующем виде:

, (1.22)

где Е - единичная матрица.

Тогда для вычисления неизвестных х_i (i= ) можно записать итерационную процедуру в виде:

. (1.23)

Например, для х₁ это будет такое выражение:

.

1.2.6 Сходимость итерационных методов

Рассмотрим систему Ax=B, где А – невырожденная действительная матрица.

Для решения системы рассмотрим одношаговый стационарный метод

, (1.24)

при n=0,1,2….

Предположим, что задан начальный вектор решения. Тогда метод (1.24) сходится, если норма вектора

Теорема. Условие сходимости итерационного метода

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица и выполнено условие D - 0.5tA > 0 (где t > 0). Тогда метод (1.24) сходится.

Следствие 1. Пусть А – симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, то есть:

,

при j=1,2,…,m. Тогда метод Якоби сходится.

Следствие 2. Пусть А - симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, тогда метод верхней релаксации сходится при (0< <2).

Проверяется, при каком  - метод достигает заданной точности быстрее. В частности, при =1 метод верхней релаксации превращается в метод Зейделя, следовательно, при =1 метод Зейделя сходится.

Теорема. Итерационный метод (1.24) сходится при любом начальном векторе x⁰ тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы

по модулю меньше единицы.

2 Плохо обусловленные системы линейных алгебраических уравнений

Дана система линейных алгебраических уравнений

Ах=В. (2.1)

Если система плохо обусловлена, то это значит, что погрешности коэффициентов матрицы А и правых частей B или же погрешности их округления сильно искажают решение системы. В качестве примера рассмотрим систему

Решение этой системы

x₁  1.981

x₂  0.4735.

Оценим влияние погрешности правых частей на результат. Рассмотрим “возмущенную” систему с правой частью b* = (2.505 , 2.415) и решим эту систему:

x₁^*  2.877

x₂^*  -0.4629.

Относительная погрешность правой части  (в) = 0.005/2.51  0.28% привела к относительной погрешности решения  (x*) =0.9364/1.981  47.3%.

Погрешность возросла примерно в 237 раз. Число обусловленности системы (2.1) приблизительно равна 237.

Подобные системы называются плохо обусловленными.

х₁ а) х₁ б) х₁ с)

1)

2)

3)

х₂

х₂ х₂

Рисунок 2

а) система имеет единственное решение;

б) система не имеет решения;

с) система плохо обусловлена.

В случае с) малейшее возмущение системы сильно меняет положение точки пересечения прямых. Встаёт задача – какими методами можно решать эти системы.

Для оценки обусловленности системы вводят число обусловленности M_А

.

Чем больше M_А, тем система хуже обусловлена.

Свойства числа обусловленности:

1) М_Е =1;

2) M_А  1;

3) M_А , где _мах, _min - соответственно максимальное и минимальное собственные числа матрицы А;

4) M_АВ  M_А * M_В;

5) Число обусловленности матрицы А не меняется при умножении матрицы на произвольное число 0.

Найдем выражение для полной оценки погрешности решения системы.

Пусть в системе (2.1) возмущены коэффициенты матрицы А и правая часть В, т.е.

, , .

Теорема. Пусть матрица имеет обратную матрицу, и выполняется условие . Тогда матрица имеет обратную и справедлива следующая оценка относительной погрешности:

.