5.2.2 Вторая интерполяционная формула Ньютона

Эта формула используется для интерполирования в конце таблицы. Построим интерполяционный многочлен вида

Неизвестные коэффициенты а₀,а₁,…,а_n подберем так, чтобы были выполнены равенства . Для этого необходимо и достаточно, чтобы (i=0,1,…,n).

В случае, если положить , то сразу определяется коэффициент а₀

.

Из выражения для первой конечной разности найдем :

Отсюда, полагая х=х_n-1 получим . Из выражения для второй конечной разности найдем а₂: . Общая формула для коэффициента а_i имеет вид .

Подставим эти коэффициенты в формулу многочлена и получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

На практике используют формулу Ньютона в другом виде. Положим q=(x-x_n)/h. Тогда

.

5.3 Интерполирование сплайнами

Многочлен Лагранжа или Ньютона на всем отрезке с использованием большого числа узлов интерполирования часто приводит к плохому приближению, что объясняется накоплением погрешностей в ходе вычислений. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполирования увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности вычислений. В силу вышесказанного на практике весь отрезок разбивается на частичные интервалы и на каждом из них приближающая функция заменяется многочленом невысокой степени. Такая интерполяция называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.

Определение. Сплайн - функцией называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Слово сплайн означает гибкую линейку, которую используют для проведения гладких кривых через определенное число точек на плоскости. Преимущество сплайнов - сходимость и устойчивость процесса вычисления. Рассмотрим частный случай (часто используемый на практике), когда сплайн определяется многочленом третьей степени.

5.3.1 Построение кубического сплайна

Пусть на отрезке в узлах сетки заданы значения некоторой функции , т.е. , (i= 0,1,…, n).

Сплайном, соответствующим этим узлам функции называется функция S(х), которая:

1) на каждом частичном отрезке является многочленом третьей степени;

функция и ее первые две производные непрерывны на ;

2) .

На каждом частичном отрезке будем искать сплайн , где многочлен третьей степени

. (5.8)

То есть для нужно построить такую функцию , где подлежат определению. Для всего отрезка интерполирования , таким образом, необходимо определить 4n неизвестных коэффициента.

Доопределим . Требование непрерывности функции S(x) приводит к условиям (i=0, 1,…,n-1).

Отсюда из (5.8) получаем следующие уравнения:

(i= 1,2,…,n-1).

Введем шаг интерполирования . Тогда последнее равенство можно переписать в виде (i= 1,2,…,n). Из непрерывности первой производной следует (i= 2,3,…,n), а из непрерывности второй производной (i= 2,3,…,n).

Объединив все три вида уравнений, получим систему из 3n-2 уравнений относительно 3n неизвестных . Два недостающих уравнения получим, задав граничные условия для функции S(x). Для этого воспользуемся граничными условиями для сплайн-функции в виде (концы гибкой линейки свободны).

Тогда получим систему уравнений

(5.9)

Решая систему методом подстановки (исключаем из (5.9) неизвестные b_i,d_i), получим систему:

(5.10)

(i= 1,2,…,n-1).

Система (5.10) имеет трехдиагональную матрицу. Эта система может быть решена методом прогонки или Гаусса. После ее решения коэффициенты сплайна определим через коэффициенты с_i с помощью явных формул

,

(i= 1,2,…,n).