2.1.4. Чисельні характеристики

середнього арифметичного

однаково розподілених

взаємно незалежних випадкових величин

Розглянемо n взаємно незалежних дискретних випадкових величин , які мають однакові закони розподілу ймовірностей. Тоді їх чисельні характеристики (математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення) також однакові, тобто .

Нехай – середнє арифметичне описаних випадкових величин, тобто

.

Виникає питання: який зв’язок між чисельними характеристиками випад­кової величини і випадкових величин

Відповідь на це питання дає таке твердження: чисельні характеристики (математичне сподівання, дисперсія, середнє квадратичне відхилення) середнього арифметичного n взаємно незалежних і однаково розподілених дискретних випадкових величин виражаються такими рівностями:

, (2.10)

.

Рівності (2.10) випливають з означень відповідних числових характеристик та їх властивостей:

;

;

.

Сформульоване твердження має важливе значення для практики.

Для встановлення певної ознаки даної величини проводять кілька вимі­рювань, результати яких є випадковими величинами , бо вони залежать від багатьох випадкових факторів. Ці величини мають однаковий роз­поділ і є взаємно незалежними. Із наведеного твердження випливає, що за ха­рактеристику досліджуваної ознаки доцільно обрати середнє арифметичне одержаних результатів вимірювань , оскільки розсіювання їх се­реднього арифметичного є менше, ніж розсіювання кожного результату вимі­рювання, і воно зменшується при . Іншими словами, значення середнього арифметичного результатів вимірювань ознаки випадкової величини є надій­нішим і ближчим до істинної характеристики цієї ознаки, ніж окремий результат.

Рекомендована література: [1, с. 93–113; 2, с. 40–46, 59–68; 5, с. 64–99; 7, с. 75–77, 213–225; 8, с. 63–183].

Завдання для самоконтролю

Основні поняття, означення і відношення.

Замість крапок запишіть таке продовження (доповнення) тексту словами або форму­лами, щоб у результаті отримати правильне означення або твердження.

1. Величина називається випадковою, якщо …

2. Випадкова величина називається одновимірною, якщо …, і n-вимірною, якщо …

3. Випадкова величина називається дискретною, якщо …

4. Закон розподілу дискретної випадкової величини – це …

5. Закон розподілу дискретної випадкової величини називається біномним, якщо …

6. Розподілом Пуассона дискретної випадкової величини називається …

7. Математичне сподівання дискретної випадкової величини – це …

8. Математичне сподівання дискретної випадкової величини має такий імовірнісний зміст: …

9. Якщо Х і Y – дискретні випадкові величини, то М(Х + Y) = … і М(Х – Y) = …

10. Якщо Х і Y – незалежні дискретні випадкові величини, то М(Х · Y) = …

11. Якщо С = const і Х – дискретна випадкова величина, то М(С) = … і М(С · Х) = …

12. Якщо випадкова величина Х – число появ події А в n випробуваннях за схемою Бернуллі і р = Р(А) – імовірність появи А в одному випробуванні, то М(Х) = …

13. Відхиленням дискретної випадкової величини Х від її математичного сподівання називається …

14. Математичне сподівання відхилення дискретної випадкової величини Х від її математичного сподівання М(Х) дорівнює …

15. Дисперсією D(X) дискретної випадкової величини Х називається … , і вона обчислюється за формулами: …

16. Дисперсія дискретної випадкової величини має такий імовірнісний зміст: …

17. Якщо Х і Y – незалежні дискретні випадкові величини, то D(X + Y) = … і D(X – Y) = …

18. Якщо С = сonst і Х – дискретна випадкова величина, то D(C) = … і D(C · X) = …

19. Якщо випадкова величина Х – число появ події А в n випробуваннях за схемою Бернуллі і р = Р(А) – імовірність появи події А в окремому випробуванні, то D(X) = …

20. Середнім квадратичним відхиленням дискретної випадкової величини Х називається …

21. Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини має такий імовір­нісний зміст: …

22. Середнє квадратичне відхилення суми кількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює …

23. Якщо випадкова величина Х – число появ події А в n випробуваннях за схемою Бернуллі і р = Р(А) – імовірність появи події А в одному випробуванні, то D(Х) = …

24. Початковим моментом s-го порядку дискретної випадкової величини Х називається …

25. Центральним моментом s-го порядку дискретної випадкової величини називається …

26. Асиметрія дискретної випадкової величини – це …

27. Ексцес дискретної випадкової величини – це…

28. Якщо – взаємно незалежні дискретні випадкові величини, а – сталі величини, то …

29. Якщо – взаємно незалежні дискретні випадкові величини, а – сталі величини, то …

30. Якщо – взаємно незалежні і однаково розподілені дискретні випадкові величини ( ), а – їх середнє арифметичне, то

Тести

Запишіть на бланку відповідей номер завдання та коди (порядкові номери або літери), що відповідають тим варіантам відповідей, які вважаєте правильними.

1. Якими повинні бути числа і , щоб таблиця:

Х = хі	х1	х2	х3	х4	х5
р = рі	р1	0,1	0,3	0,2	р5

відображала закон розподілу випадкової величини Х, якщо

Варіанти відповідей: 1. , 2. ,

3. ,

2. У сейфі лежать 100 банкнот, з яких 20 – по 100 грн, 30 – по 50 грн і 50 – по 20 грн. Зі сейфа навмання виймають одну банкноту. Написати закон розподілу ймовірностей випадкової величини Х – вартості вийнятої банкноти у формі таблиці:

Х= хі	100	50	20
р = рі		р2	р3

Варіанти відповідей: 1. , ,

2. , ,

3. , , .

3. Метеослужба міста, для прогнозування кількості снігових буранів протягом поточного року, переглянула статистичні відомості за останні 50 років і результати розподілу цих буранів подала у такій таблиці:

Кількість буранів	0	1	2	3	4	5
Частота (к-сть років)	2	4	8	12	14	10

Написати закон розподілу статистичних імовірностей випадкової величи­ни Х – кількості можливих снігових буранів у поточному році і знайти ймовірність того, що поточного року їх буде не менше ніж три (подія А).

Варіанти відповідей: 1. Р(А) = 0,72. 2. Р(А) = 0,48. 3. Р(А)= 0,28.

4. Статистика свідчить, що 20% сімей мають кабельне телебачення. Навмання вибирають три сім’ї. Напишіть біномний закон розподілу випадкової величини Х – числа сімей, які мають кабельне телебачення, із трьох навмання вибраних, і обчисліть імовірність події А – не більше ніж одна сім’я із трьох навмання вибраних має кабельне телебачення.

Варіанти відповідей: 1. 0,512. 2. 0,896. 3. 0,488.

5. Фірма відвантажила споживачеві 5 000 якісних виробів. Імовірність того, що під час транспортування один виріб буде пошкоджений, становить 0,0002. Випадкова величина Х – число пошкоджених виробів – розподілена за біномним законом із параметрами п = 5000, р = 0,0002. Обчислити перші три ймовірності цього розподілу , використовуючи асимптотичну формулу Пуассона. Указати на ймовірнісний зміст числа 2/е.

Варіанти відповідей. Число 2/е виражає ймовірність події:

А. Жоден виріб не буде пошкоджений.

Б. Два вироби будуть пошкоджені.

В. Не більше ніж один виріб буде пошкоджено.

6. Незалежні випадкові величини Х і Y задані такими законами розподілу:

Х = хі	–2	2		Y = yj	1	2	3
р = рі	…	0,7		q = qj	0,4	…	0,5

Заповніть порожні клітинки й обчисліть .

Варіанти відповідей: 1. = 0,8. 2. = 1,68. 3. = 2,3.

7. Незалежні випадкові величини Х і Y задані такими законами розподілу:

Х = хі	–3	5	6		Y = yj	1	2
р = рі	0,6	…	0,2		q = qj	0,7	…

Заповніть порожні клітинки й обчисліть D = .

Варіанти відповідей: 1. 0,9076. 2. 0,6976. 3. 3,698.

8. У пологовій лікарні протягом одного дня народилося п’ятеро дітей. Яке середнє число серед них хлопчиків, якщо ймовірність народження хлопчика (подія А) дорівнює 0,52?

Варіанти відповідей: 1. 2,25. 2. 2,4. 3. 2,6.

9. Випадкова величина Х може набувати двох можливих значень з імовірностями , відповідно. Знайти і , якщо М(Х) = 2,4, і .

Варіанти відповідей: 1. = 2,6; = 1,6. 2. = 2,1; = 3,1.

3. = 2,6; = 3.

10. Дисперсія кожного із 36 незалежних вимірювань деякої величини дорівнює 12 см. Знайти дисперсію і середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного результатів цих вимірювань.

Варіанти відповідей: 1. 1/3 см і см. 2. 2 см і 2/3 см. 3. 4 см і 2 см.