2.1.2. Основні закони розподілу ймовірностей

Закон розподілу ймовірностей дискретної випадко­вої величини може виражатися різними аналітичними формулами.

А. Б і н о м н и й з а к о н р о з п о д і л у. Нехай проводиться n незалежних випробувань за схемою Бернуллі і р = Р(А) – імовірність появи події А в кожному окремому випробуванні. Сформулюємо задачу: написати закон розподілу дискретної випадкової величини – числа появ події А в цих n випробуваннях.

Випадкова величина може набути значень Імовірності можливих значень випадкової величини обчислимо за формулою Бернуллі:

(2.1)

і одержимо закон розподілу описаної випадкової величини (табл. 2.2).

Таблиця 2.2

Х = xi	0	1	2	…	n
р = pi				…

Одержаний у формі такої таблиці закон розподілу дискретної випадкової величини називається біномним.

Приклад 2.2. Прилад складається з чотирьох елементів і ймовірність наявності технічних неполадок у кожному з них становить 0,5. Написати закон розподілу випадкової величини Х – числа елементів приладу, в яких наявні технічні неполадки. Визначити ймовірність того, що число елементів приладу, в яких наявні технічні неполадки, буде більше ніж два.

Розв’язання. Випадкова величина X є дискретна і може набувати значень , За формулою Бернуллі обчислимо відповідні ймовірності цих можливих значень, знаючи, що :

; ;

; ; .

Зробимо перевірку: .

Закон розподілу даної випадкової величини X має форму:

Х = хi
р = рi		1/4	3/8

Імовірність події В – число елементів приладу, в яких є більше ніж дві технічні неполадки, дорівнює:

.

Із таблиці також видно, що найімовірніше число елементів приладу, в яких є технічні неполадки,

Б. Р о з п о д і л П у а с с о н а. Розподіл імовірностей дискретної випадкової величини Х, яка набуває значень : 0, 1, 2, …, n, … з імо­вірностями

(2.2)

називається законом розподілу Пуассона, що залежить від параметра ,  > 0.

Розподіл Пуассона записують у формі таблиці (табл. 2.3).

Таблиця 2.3

Х = xi	0	1	2	…	n – 1	п	…
р = pi				…			…

Підсумовуючи всі ймовірності розподілу Пуассона і використовуючи рівність

отримуємо підтвердження основної властивості розподілу:

Під час вивчення схеми Бернуллі було зауважено, що при великих n для обчислення ймовірностей доцільно використовувати асимптотичні формули Пуассона, Лапласа, які полегшують ці обчислення. Зокрема, з асимптотичної формули Пуассона випливає, що за допомогою розподілу Пуассона можна апроксимувати біномний закон розподілу, коли число експериментів n необмежено зростає (n й одночасно ймовірність р = р(п) (імовірність успіху в одному експерименті) необмежено зменшується (р0) так, що їх добуток пр наближається до числа : .

Приклад 2.3. Електронна пошта банку підтримує зв’язки із сотнею абонентів. Імовірність того, що за одиницю часу на електронну пошту надійде повідомлення від абонента, становить Написати закон розподілу величини Х – числа надходження сигналів від абонентів. Яка при цьому з подій є більш імовірною: В – за одиницю часу надійдуть сигнали від 3-х абонентів, С – за одиницю часу надійдуть сигнали від 4-х абонентів?

Розв’язання. У даному випадку проводиться n = 100 випробувань за схемою Бернуллі і випадкова величина X може набувати значень , …, . Імовірність події А – надходження сигналу від одного абонента є мала, а число n = 100 є велике і тому відповідні ймовірності обчислюємо за формулою (2.2):

;

;

;

.................................................

.

Закон розподілу описаної в задачі дискретної випадкової величини Х записуємо у формі таблиці:

Х = xi	0	1	2	3	4	…
р = pі	0,1353	0,2707	0,2707	0,1804	0,0902	…

Із наведеної таблиці видно, що і тобто більш імовірно, що сигнали надійдуть від 3-х абонентів, аніж від 4-х.

В. Г е о м е т р и ч н и й р о з п о д і л. Нехай знову проводиться п ви­пробувань за схемою Бернуллі і ймовірність появи події А в кожному випробуванні становить р, а q = 1 – p. Випробування припиняються, як тільки з’явиться подія А. Це означає, що коли подія А з’явилася в т-му випробуванні, то в попередніх т – 1 випробуваннях вона не з’являлася.

Приймемо, що дискретна випадкова величина Х є число випробувань, які необхідно провести до першої появи події А. Можливими значеннями випадкової величини Х є х₁ = 1, х₂ = 2, ... . Оскільки є ймовірність того, що подія в т – 1 випробуваннях не з’явиться, а р – імовірність того, що вона з’явиться в т-му випробуванні, то

. (2.2)

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х, що виражається формулою (2.2), називається геометричним, бо права частина цієї формули – загальний член геометричної прогресії:

Геометричний закон розподілу дискретної випадкової величини записують у формі таблиці (табл. 2.4).

Таблиця 2.4

	1	2	3	…	т	…
	р	pq	pq2	…	pqm – 1	…