3.2.3. Оценка частных производных от показателя эффективности сложной системы на ее математической модели

Для определения смещения и дисперсии оценки осталось найти оценки частных производных = , = и т.д. Зафиксируем . Естественная оценка для , имеющая вид

( - ), где для и определены независимые при фиксированных оценки и соответственно, не совсем корректна. Действительно, ее дисперсия при фиксированных равна ( + )/ и при стремится к бесконечности. Используем другой подход. Имеем

= = ) ) где ) есть плотность распределения ). Отсюда = ( ) ) ).

Если область интегрирования и область определения вектора конечны, что в практических задачах всегда выполняется, то можно использовать теорему о возможности дифференцирования под знаком интеграла. Из этой теоремы, легко переносимой на многомерный случай, следует, что если во всей области и области , существует ограниченная частная производная ) и ) для всех ( ) , а также ) ) , то

= ) ) .

В большинстве практических задач эти условия выполняются. Если области и бесконечные, то требуется дополнительное условие сходимости интегралов. Отсюда следует, что

= ) ) ) = ) ). Тогда имеем для состоятельную оценку , имеющую следующий вид

= ), где - - ая реализация вектора на математической модели рассматриваемой сложной системы. Аналогичным образом получаются оценки и других частных производных.

3.3. Оценка точности результатов статистического

моделирования в непараметрическом случае.

В непараметрическом случае в результате экспериментов для случайной величины получены реализации ,…, . По ним построим эмпирическую функцию распределения , имеющую следующую структуру: вероятность принятия значения равна . Случайная величина имеет функцию распределения . Характер распределения оценки определяется конечностью числа реализаций на модели и случайностью эмпирических функций распределения , используемых в модели. В качестве характеристик точности будем брать смещение и дисперсию . Так как случайность, обусловленная конечностью числа реализаций на модели , не влияет на смещение, то определим зависимость величины смещения от эмпирических функций распределения , . Пусть сначала . Тогда оценка имеет вид = ) = ), где - число реализаций из , при которых принимало значение . В силу того, что = ) = , . Следовательно, при = ( = )

= ) = ,

т.е. - несмещенная оценка для = , так как есть несмещенная оценка теоретической функции распределения .

Можно показать, что это утверждение справедливо и для произвольного числа входных случайных величин ( в общем случае зависимых). Следовательно, для входных случайных величин, задаваемых в модели эмпирическими функциями распределения, смещение оценки показателя равно нулю.

Перейдем к определению . Как было показано ранее, для имеет место формула = + , где и - операции взятия дисперсии и математического ожидания по распределению . Для в качестве оценки можно использовать, как и ранее, выражение

= - ) (5)

и соответствующие рекуррентные формулы, имеющие следующий вид:

= +( - ( -1))) ,

( ) = + .

Рассмотрим возможность определения . При этом можно положить = и пусть - это при = , т.е. = .

1. Случай одной входной величины , для которой построена эмпирических функций распределения по значениям ,…, , полученных в результате экспериментов. Тогда = = ). Для имеем

= .

2. Случай двух входных величин и . По экспериментам получены реализации для , т.е. ,…, , и для , т.е. ,…, . При = оценка имеет следующий вид

= .

Для имеем в этом случае

= + -

( ) ) = +2(( ) +

( ) ),

где - независимые случайные величины с таким же распределением, как и - независимые случайные величины с таким же распределением, как и .

Покажем, что = .

Действительно, имеем

= - .

С другой стороны

= ( - ( )( - =

- ( -

Поскольку последние две формулы совпадают, то требуемое равенство доказано. Оно будет в дальнейшем использовано для практического расчета . В многомерном случае доказываются такие же равенства, которые используются для расчета соответствующих ковариаций.

3. В общем случае входных случайных величин при = имеем

= ,

где для по результатам экспериментов получены реализации ,…, ,

.

Для справедлива следующая формула

= + … ,

,

где суммирование осуществляется по множеству , представляющему собой множество всевозможных - мерных векторов с единицами и нулями.

Замечание 1. При известном функциональном виде распределения входных случайных величин конструктивная формула для дисперсии оценки выходного показателя имеется лишь при малых дисперсиях оценок входных параметров и представляется в виде бесконечного ряда по степеням этих дисперсий (с определенным радиусом сходимости); если радиус сходимости неизвестен, то этой формулой можно пользоваться как асимптотической.

При эмпирических распределениях входных случайных величин формула для дисперсии оценки выходного показателя получается в замкнутом конечном виде.

Найдем оценки ковариаций, входящих в формулу для дисперсий, по результатам моделирования на математической модели. В качестве примера возьмем , ). Оценку для нее, получаемую на математической модели, обозначим через . Для можно получить следующую формулу

= -

( ,

где - - я реализация , - реализация , - подмножество реализаций вектора , у которых первые -1 компонент равны , из общего числа реализаций,

- количество реализаций в подмножестве , С - множество реализовавшихся в процессе счета различных векторов ( ),

(С) – мощность ( количество элементов) множества С ( при = (С) = ). Оценки других ковариаций, входящих в формулу для определяются аналогичным образом.