3.1.3. Смещение и дисперсия оценки выходного показателя
Ошибки расчета
обусловлены конечностью числа реализаций
на модели и погрешностями определения
закона распределения
.
Рассмотрим смещение
оценки
.
Случайность (обозначим ее через
),
обусловленная конечностью числа
реализаций на модели
,
не влияет на смещение, и, если бы
использование распределения
не приводило бы к смещению, модель давала
бы несмещенную оценку показателя. Но
на смещение может оказывать случайность
в распределении
.
Смещение
равно
=
)
-
),
где
- оператор взятия математического
ожидания по распределению вектора (
),
- то же самое для распределения,
характеризующего случайность
.
Определим дисперсию
.
На
будут оказывать влияние обе указанные
выше случайности
и
.
Легко видеть, что они взаимно независимы.
Итак, нужно найти
=
=
-
.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1.3.1. При независимых случайностях и для дисперсии имеет место формула
=
+
=
+
.
(1)
Доказательство. По определению = - . Далее имеют место следующие преобразования
=
-
+
-
=
-
+
-
+ 2
-
)
(
-
)
=
+
+2
-
)
(
-
).
(2)
Рассмотрим более
детально выражение
-
)
(
-
).
Используя равенства
=
=
при независимых
случайностях
и
,
имеем
(
-
)
(
-
)
=
(
-
))
(
-
)
= 0, так как
(
-
)
=
-
= 0.
Итак, при независимых случайностях и
= + . (3)
Используя в (2) вместо выражение и проводя аналогичные выкладки, получаем = + . Отсюда приходим к (1) Теорема 3.1 3.1.доказана.
Так как случайность не вызывает смещения в , то (3) можно записать в следующем виде
=
+
.
(4)
В (4) первое слагаемое появляется из-за случайности, обусловленной неточностью исходных данных (входной информации), второе - из-за случайности, обусловленной конечностью числа реализаций . Второе слагаемое имеет вид математического ожидания по распределению от дисперсии, обусловленной конечностью числа реализаций на модели.
Обозначим значение
функции
в
- ой реализации модели через
.
В качестве несмещенной оценки выражения
можно использовать формулу
=
-
)
.
(5)
С целью уменьшения
потребного объема памяти и числа операций
в ЭВМ в данном случае для расчета
и
целесообразно использовать вместо (5)
рекуррентные формулы, имеющие следующий
вид:
=
+(
-
(
-1)))
,
(
)
=
+
.
При большом оказывает малое влияние на распределение (в большинстве практических задач 30-50). Следовательно, при большом распределение оценки будет определяться в основном распределением выражения . При достаточно большом количестве испытаний, проводимых для определения неизвестных параметров и функций распределения входных случайных величин, можно приближенно считать распределенным по нормальному закону. Следовательно, смещение и дисперсия будут полностью определять ее распределение.